Question

11．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入月球近月軌道Ⅲ繞月球作圓周運動．
求：（1）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間；
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為T，重力等于萬有引力，列式求解即可；
（2）設(shè)月球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律即可解題；

解答 解：（1）設(shè)飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為T，則：
mg₀=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g_0}}$
（2）設(shè)月球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，則：
$G\frac{Mm}{（4R）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{4R}$
解得：
v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{g}_{0}R}$
答：（1）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g_0}}$；
（2）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率是$\sqrt{{g}_{0}R}$．

點評 本題主要考查了萬有引力公式及向心力公式的直接應(yīng)用，要注意飛船做近心運動時萬有引力大于向心力．