Question

1．如圖所示，兩同心圓圓心為O，半徑分別為r和2r，在它們圍成的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在著磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，大量質(zhì)量為m，電量為+q的帶電粒子以不同的速率從P點沿各個方向射入磁場區(qū)域，不計粒子重力及其相互作用．
（1）若某帶電粒子從P點沿PO方向射入磁場，恰好未能進人內(nèi)部圓形區(qū)域，求該粒子在磁場中運動的時間；
（2）若有些帶電粒子第一次穿過磁場后恰能經(jīng)過O點，求這些粒子中最小的入射速率．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從P點沿PO方向射入磁場，恰好未能進人內(nèi)部圓形區(qū)域，說明運動軌跡正好與內(nèi)圓相切，在直角三角形AOP中分析幾何關(guān)系可求半徑圓心角，根據(jù)洛侖茲力充當圓周運動的向心力求出速度、周期，結(jié)合圓心角求出時間；
（2）欲求這些粒子中最小的入射速率，必須知道最小半徑；粒子從P點經(jīng)圓周運動沿半徑通過圓心O，根據(jù)逆向運動，半徑最小的圓周運動其圓弧與大圓內(nèi)切，在直角三角形OBC中分析幾何關(guān)系可求半徑，洛侖茲力充當圓周運動的向心力求出最小速度．

解答 解：（1）帶電粒子從P點沿PO方向射入磁場，恰好未能進人內(nèi)部圓形區(qū)域，說明運動軌跡正好與內(nèi)圓相切，如圖一；
設(shè)圓弧的半徑為R₁圓心為A，連接OA、OP、AP，在直角三角形AOP中：OA²=OP²+AP²  
即：（R₁+r）²=R₁²+（2r）²
解得：R₁=1.5r
在直角三角形AOP中：tan∠A=$\frac{OP}{AP}$=$\frac{4}{3}$   所以∠A=53°
整個圓弧所對的圓心角為106°，帶電粒子做圓周運動：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$  
$T=\frac{2π{R}_{1}}{v}$
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場中運動的時間：t=$\frac{106°}{360°}T$=$\frac{53πm}{90qB}$
（2）欲求這些粒子中最小的入射速率，必須知道最小半徑；粒子從P點經(jīng)圓周運動沿半徑通過圓心O，根據(jù)逆向運動，半徑最小的圓周運動其圓弧與大圓內(nèi)切，如圖二；
設(shè)圓弧的半徑為R₂圓心為B，PBO在一條直線上，連接OP、BC，在直角三角形OBC中：OB²=OC²+BC²   即（2r-R₂）²=r²+R₂²
解得：R₂=0.75r
帶電粒子做圓周運動：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：v=$\frac{3qBr}{4m}$
答：（1）若某帶電粒子從P點沿PO方向射入磁場，恰好未能進人內(nèi)部圓形區(qū)域，求該粒子在磁場中運動的時間為$\frac{53πm}{90qB}$；
（2）若有些帶電粒子第一次穿過磁場后恰能經(jīng)過O點，求這些粒子中最小的入射速率為$\frac{3qBr}{4m}$．

點評 注意：題目中的關(guān)鍵詞“恰好”是粒子運動的邊界條件；最小的入射速率對應的半徑根據(jù)逆向運動才能確定，做題時應多注意、多體會．