Question

13．如圖所示，一個(gè)半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周的軌道，O點(diǎn)為圓心，B為軌道上的一點(diǎn)，OB與水平方向的夾角為37°．軌道的左側(cè)與一固定光滑平臺(tái)相連，在平臺(tái)上一輕質(zhì)彈簧左端與豎直擋板相連，彈簧原長(zhǎng)時(shí)右端在A(yíng)點(diǎn)．現(xiàn)用一質(zhì)量為m的小球（與彈簧不連接）壓縮彈簧至P點(diǎn)后釋放．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
（1）若小球恰能擊中B點(diǎn)，求剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）試通過(guò)計(jì)算判斷小球落到軌道時(shí)速度會(huì)否與圓弧垂直；
（3）改變釋放點(diǎn)的位置，求小球落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球離開(kāi)O點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)求的初速度，利用機(jī)械能守恒即可求得彈性勢(shì)能；
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的位移的偏轉(zhuǎn)角與速度的偏轉(zhuǎn)角來(lái)判斷；
（3）由動(dòng)能定理求的最小值

解答 解：（1）小球離開(kāi)O點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v0，由
Rcos37°=v₀t
R$sin37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{8}{15}gR}$
由機(jī)械能守恒${E}_{P}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=\frac{4}{15}mgR$
（2）設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線(xiàn)與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由
Rcosθ=v₀t      Rsin$θ=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
位移方向與圓弧垂直$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$
設(shè)速度方向與水平方向的夾角為α
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}=2tanθ$
所以小球不能垂直擊中圓弧
（3）設(shè)落地點(diǎn)與O點(diǎn)的連線(xiàn)與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
Rcosθ=v₀t      Rsin$θ=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由動(dòng)能定理$mgRsinθ={E}_{K}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${E}_{K}=mgR（\frac{3}{4}sinθ+\frac{1}{4sinθ}）$
當(dāng)sin$θ=\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，取最小值${E}_{K}=\frac{\sqrt{3}}{2}mgR$
答：（1）若小球恰能擊中B點(diǎn)，剛釋放小球時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為$\frac{4}{15}mgR$；
（2）小球落到軌道時(shí)速度不能圓弧垂直；
（3）改變釋放點(diǎn)的位置，小球落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)，抓住在水平方向勻速直線(xiàn)，豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)即可求解