Question

14．如圖所示，質(zhì)量為m=1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊輕輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上的P點(diǎn)，隨傳送帶運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)人豎直固定的光滑圓弧軌道下滑，圓弧軌道與質(zhì)量為M=2kg的足夠長(zhǎng)的小車左端在最低點(diǎn)O點(diǎn)相切，并在O點(diǎn)滑上靜止在光滑水平地面上的小車，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到障礙物Q處時(shí)與Q發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞，碰撞前物塊和小車已經(jīng)相對(duì)靜止，而小車可繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)（物塊始終在小車上），小車和物塊在運(yùn)動(dòng)過程中和圓弧無相互作用．已知圓弧半徑R=1.0m，圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角θ為53°，A、B兩點(diǎn)間的高度差h=0.8m，物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：
（1）小物塊離開A點(diǎn)的水平初速度v₁；
（2）小物塊經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對(duì)小車的位移和小車做勻減速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在B點(diǎn)對(duì)速度進(jìn)行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關(guān)系，而豎直方向速度V_y²=2gh顯然易求，則水平速度可解．
（2）首先利用動(dòng)能定理解決物塊在最低點(diǎn)的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點(diǎn)表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據(jù)牛頓第三定律可求對(duì)軌道的壓力．
（3）第一次碰撞后，滑塊以原速率返回，小車減速，當(dāng)滑塊速度減為零后反向加速度時(shí)，小車仍然減速，直到兩者速度相同，一起向右；之后重復(fù)這個(gè)過程，小車與滑塊有相對(duì)滑動(dòng)的過程中，小車勻減速；根據(jù)功能關(guān)系列式求相對(duì)路程，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系公式求解小車的減速時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)小物塊由A到B有：V_y²=2gh
在B點(diǎn)：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
解得：v₁=3m/s
（2）由A到O，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=mg（h+R-Rcosθ）
在O點(diǎn)：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{33}m/s$，F(xiàn)_N=43N
故壓力F′_N=43N
即小物塊經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為43N．
（3）摩擦力f=μmg=1N，物塊滑上小車后，滑塊減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為${a}_{m}=\frac{f}{m}=1m/{s}^{2}$；
小車加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$；
經(jīng)過時(shí)間t達(dá)到的共同速度為v_t，則
$\frac{{v}_{t}}{{a}_{M}}=\frac{{v}_{0}-{v}_{t}}{{a}_{m}}$得${v}_{t}=\frac{\sqrt{33}}{3}m/s$
由于碰撞不損失能量，物塊在小車上重復(fù)做勻減速和勻加速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)小車始終向左運(yùn)動(dòng)，與小車最終靜止，摩擦力做功使動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故有：
$f{s}_{相}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{t}}^{2}$
得s_相=5.5m
小車從物塊碰撞后開始做勻減速運(yùn)動(dòng)，（每個(gè)減速階段）加速度a不變，${a}_{M}=\frac{f}{M}=0.5m/{s}^{2}$，v_t=a_Mt，
得t=$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$
答：（1）小物塊離開A點(diǎn)的水平初速度v₁為3m/s；
（2）小物塊經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為43N；
（3）第一次碰撞后直至靜止，物塊相對(duì)小車的位移為5.5m，小車做勻減速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{2}{3}\sqrt{33}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題前兩問是一個(gè)單物體多過程的力學(xué)問題，把復(fù)雜的過程分解成幾個(gè)分過程是基本思路；第三問是一個(gè)多過程問題，要分析清楚兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系列式求解．