Question

3．一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓柱體放置在水平面上，圓柱體由折射率為$\sqrt{3}$的透明材料制成．現(xiàn)有一束光線垂直于右側(cè)面且平行于桌面射到圓柱體表面上，折射入圓柱體后再從右側(cè)表面射出，如圖所示：已知入射光線與桌面的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R，試作出相應(yīng)的光路圖，并求從右側(cè)面射出的光線打在桌面上形成的光斑與圓心O的距離．

Answer 1

分析 當(dāng)光從圖示位置射入，經(jīng)過二次折射后射出球體，先由幾何知識(shí)求出在A點(diǎn)的入射角，由折射定律可求出A點(diǎn)的折射角，由幾何關(guān)系得到AB細(xì)光束在OB表面上的入射角．
根據(jù)折射定律求出光線在B點(diǎn)的折射角，再由幾何關(guān)系求解O與光斑C之間的距離．

解答 解：（1）設(shè)入射點(diǎn)為A，出射點(diǎn)為B，射到桌面上的點(diǎn)為C；連接OA，OA即為入射點(diǎn)的法線．因此，圖中的角α為入射角．求出折射角，找出出射點(diǎn)；然后再次利用折射定律求出出射光的方向，從而畫出光路圖如圖；
（2）過A點(diǎn)作球體水平表面的垂線，垂足為D．
依題意，∠AOD=α．又由直角△ADO知
  sinα=$\frac{\overline{AD}}{R}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以：α=60°   ①
設(shè)光線在A點(diǎn)的折射角為β，由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$ ②
由①②式得 β=30°③
由幾何關(guān)系知，AB光線在OB表面上的入射角   i=30°   ④
由折射定律得 $\frac{sini}{sinr}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$ ⑤
由④、⑤式，解得r=60°，因此 θ=30°   ⑥
由等腰三角形△ABO知，$OB=\frac{R}{{\sqrt{3}}}$⑦
由直角△BOC知，OC=OB•tanθ ⑧
由⑥、⑦、⑧式，解得 $OC=\frac{R}{3}$
答：光路圖如圖，右側(cè)面射出的光線打在桌面上形成的光斑與圓心O的距離是$\frac{1}{3}R$

點(diǎn)評(píng) 光線從球體入射時(shí)，法線則是入射點(diǎn)與球心的連線；當(dāng)光線射出時(shí)，法線則與界面垂直．因此兩次使用折射定律可求出結(jié)果．