Question

19．如圖所示，BCPC′D是由半徑為R的圓軌道CPC′與半徑為2R的BD圓弧軌道相切于C（C′）點(diǎn)構(gòu)成的豎直螺旋軌道（類(lèi)似于游樂(lè)園過(guò)山車(chē)的形狀），C、C′間距離可以忽略．PB與豎直徑成37°角，軌道光滑，質(zhì)量為m的小球在B點(diǎn)以一定的初速度沿軌道向下運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）要使小球能通過(guò)軌道最高點(diǎn)P點(diǎn)，小球初速度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（計(jì)算結(jié)果可以用根式表示）
（2）若小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)的情況下，小球在經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊對(duì)軌道的壓力之差．（在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過(guò)最低點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）先求出使小球剛好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)P點(diǎn)的速度，即在P點(diǎn)，剛好由重力提供向心力，據(jù)此列式求出P點(diǎn)最小速度，再由B到P由動(dòng)能定理求出小球初速度的最小值．
（2）分別在兩個(gè)軌道上，根據(jù)向心力公式求出壓力，再求出壓力差即可．

解答 解：（1）要使小球通過(guò)P點(diǎn)，$mg+{F}_{N}=m\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$，
當(dāng)F_N=0時(shí)v_P最小，
最小值${v}_{Pmin}=\sqrt{gR}$
由B到P由動(dòng)能定理知$\frac{1}{2}m{v}_{Pmin}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=-mg×2Rcos37°$
解得${v}_{0}=\sqrt{4.2gR}$，則小球初速度應(yīng)滿(mǎn)足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$，
（2）小球在經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過(guò)最低點(diǎn)，在左邊軌道${N_1}-mg=m\frac{v^2}{2R}$
在右邊軌道${N_2}-mg=m\frac{v^2}{R}$，
小球恰好經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度${v}_{P}=\sqrt{gR}$，
由C到P由動(dòng)能定理知$\frac{1}{2}mv_P^2-\frac{1}{2}mv_{\;}^2=-mg×2R$，
聯(lián)立解得：${N_2}-{N_1}=m\frac{v^2}{2R}=\frac{5}{2}mg$
答：（1）要使小球能通過(guò)軌道最高點(diǎn)P點(diǎn)，小球初速度應(yīng)滿(mǎn)足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$；
（2）若小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)的情況下，小球在經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊對(duì)軌道的壓力之差為$\frac{5}{2}mg$．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來(lái)源是關(guān)鍵，知恰好經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的條件，要具有解決綜合問(wèn)題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．