Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道。小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長為5R，CD長為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為l.8R。求：(在運(yùn)算中，根號中的數(shù)值無需算出)

(1)小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大小。

(2)小球剛到C時(shí)對軌道的作用力。

(3)要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R/應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1） （2）6.6mg，豎直向下（3）

【解析】

試題（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程，由動(dòng)能定理有

（2分）

可得（1分）

（2）小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對球的作用力為N，由牛頓第二定律

， （2分） 其中r滿足 r+r·sin530=1.8R （1分）

聯(lián)立上式可得：N=6.6mg （1分）

由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?/span>6.6mg ，方向豎直向下。 （1分）

（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道。則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足（1分）

小球從C直到P點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理，有（1分）

可得（1分）

情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D。則由動(dòng)能定理有

（1分）

（1分）

若，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為vB,，則由能量守恒定律有（1分）

由⑤⑨式，可得（1分）

故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ?/span>CD軌道上的某處。設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有（1分）

由⑤⑩兩式，可得 S=5.6R （1分）

所以知，b球?qū)⑼Ｔ?/span>D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處。 （1分）