Question

9．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，光滑絕緣直桿AC與半徑為R的圓周交于B、C兩點(diǎn)，在圓心處有一固定的正點(diǎn)電荷，B點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，C點(diǎn)位于圓周的最低點(diǎn)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q、套在桿上的帶負(fù)電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿桿下滑．已知重力加速度為g，A點(diǎn)距過(guò)C點(diǎn)的水平面的豎直高度為3R，小球滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為2$\sqrt{gR}$．求：
（1）求由A到B電場(chǎng)力所做的功
（2）小球滑至C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（3）若以C點(diǎn)作為參考點(diǎn)（零電勢(shì)點(diǎn)），試確定A點(diǎn)的電勢(shì)．

Answer 1

分析 （1）由A到B利用動(dòng)能定理即可求得電場(chǎng)力做功；
（2）B為AC的中點(diǎn)，故BC、AB間的高度差均為1.5R，對(duì)B到C過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解C點(diǎn)的速度；
（3）B、C兩點(diǎn)在同一個(gè)等勢(shì)面上，故電勢(shì)相等，故B點(diǎn)電勢(shì)也為零，根據(jù)U_AB=φ_A-φ_B求解A點(diǎn)的電勢(shì)．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理有：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}=mg×\frac{3}{2}R+{W}_{E}$
代入數(shù)值可解得：${W}_{E}=\frac{1}{2}mgR$
（2）小球從B到C電場(chǎng)力做的總功為零，由幾何關(guān)系可得BC的豎直高度為：h_BC=$\frac{3R}{2}$，根據(jù)動(dòng)能定理有：mg×$\frac{3R}{2}$=$\frac{m{v}_{C}^{2}}{2}$-$\frac{m{v}_{B}^{2}}{2}$，
解得：v_C=$\sqrt{7gR}$．
（3）小球從A到C，重力和電場(chǎng)力均做正功，所以由動(dòng)能定理有mg×3R+W_電=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$，得：W_電=$\frac{1}{2}$mgR，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小．又因?yàn)镃點(diǎn)為零電勢(shì)點(diǎn)，所以電荷-q在A點(diǎn)有電勢(shì)能EpA=$\frac{1}{2}$mgR，有：
φ_A=$\frac{EpA}{-q}$=-$\frac{mgR}{2q}$．
答：（1）求由A到B電場(chǎng)力所做的功$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
（2）小球滑至C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{7gR}$；
（3）若以C點(diǎn)作為參考點(diǎn)（零電勢(shì)點(diǎn)），A點(diǎn)的電勢(shì)為$-\frac{mgR}{2q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵根據(jù)動(dòng)能定理列式分析，切入點(diǎn)在于圓周為等勢(shì)面，小球從A到C和A到B電場(chǎng)力做功相等．