Question

5．如圖所示，質(zhì)量為M且足夠長(zhǎng)的木板放在光滑水平面上，其右端有一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，滑塊與木板問的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．勁度系數(shù)為k的水平輕彈簧的右端O固定不動(dòng)，其自由端A與滑塊的距離為L(zhǎng)．現(xiàn)給木板一水平向右的瞬時(shí)速度v₀，滑塊將由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，與彈簧接觸后經(jīng)過一段時(shí)間向右運(yùn)動(dòng)的速度到達(dá)最大，且滑塊的速度始終小于木板的速度（彈簧在形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力）求：
（1）滑塊剛接觸彈簧對(duì)滑塊的速度大小v₁和木板的速度大小v₂
（2）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度到達(dá)最大值的過程中，彈簧的壓縮量x及彈簧對(duì)滑塊所做的功W（已知彈簧對(duì)滑塊所做的功可用公式W=-$\frac{1}{2}$kx²計(jì)算，其中x表示彈簧被壓縮的長(zhǎng)度）
（3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的最大速度v_max．

Answer 1

分析 （1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動(dòng)摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求得滑塊的速度v₁，對(duì)滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律可以求得木板的速度v₂；
（2）滑塊接觸彈簧向右運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值，可以求出此時(shí)彈簧的被壓縮的長(zhǎng)度，由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長(zhǎng)度成正比，故可根據(jù)公式求得W；
（3）對(duì)木板用動(dòng)量定理可以算出木板的速度，再對(duì)滑塊和木板分別用動(dòng)能定理即可解出．

解答 解：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動(dòng)摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)了L距離，
由動(dòng)能定理得；μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2μgL}$
對(duì)滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：Mv₀=Mv₂+mv₁
解得：v₂=v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$
（2）滑塊接觸彈簧向右運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值，此時(shí)彈簧的被壓縮的長(zhǎng)度為x，則：
μmg=kx解得：x=$\frac{μmg}{k}$
由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長(zhǎng)度成正比，所以有W=-$\frac{1}{2}kx•\;x$=-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$
（3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大值時(shí)，設(shè)滑塊的最大速度為v_m時(shí)木板速度大小為v，在彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x的過程中，
對(duì)木板由動(dòng)量定理得：
-μmgt=M（v-v₂）
解得：v=v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$-$\frac{μmgt}{M}$
分別對(duì)滑塊和木板用動(dòng)能定理得：
μmgx+W=$\frac{1}{2}m\;{{v}_{m}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
-μmg（L+x+s）=$\frac{1}{2}M{{v}_{\;}}^{2}\;-\frac{1}{2}M{{v}_{0}}^{2}$
解得：v_m=$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$
s=$\frac{M}{2μmg}[{{v}_{0}}^{2}-{（\;{v}_{0}-\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}-\frac{μmgt}{M}）}^{2}]\;-\frac{μmg}{k}-L$
答：（1）滑塊剛接觸彈簧時(shí)滑塊的速度v₁大小為$\sqrt{2μgL}$，木板的速度v₂大小為v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$；
（2）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到最大值的過程中，彈簧對(duì)滑塊所做的功W為-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度最大值v_m為$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，難度較大，要求同學(xué)們能夠根據(jù)題目要求正確選取研究對(duì)象和研究過程，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理解題，該題要注意當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值．