Question

4．圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．
如果質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)上側(cè)管壁的彈力恰好為mg．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g、求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小V_C；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線00′在360°角的范圍內(nèi)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{1}{2}$m到$\frac{7}{6}$m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時(shí)間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）受力分析后，利用圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式來解；（2）使用機(jī)械能守恒定律可解；（3）利用平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)上側(cè)管壁的彈力恰好為mg．所以做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和支持力提供，則
     2mg=$m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                             
解得v_C=$\sqrt{2gR}$．                               
（2）彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有
     E_p=$mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$                                          
由以上各式解得E_p=3.5mgR                            
（3）當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{1}{2}$m時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律有：
${E}_{P}=\frac{1}{2}mg（1.5+1）R+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}m）{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{1}=3\sqrt{gR}$
不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為$\frac{1}{2}$m的魚餌離開管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有
   $4.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x₁=v₁t+R                                
由以上各式解得x₁=10R              
當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{7}{6}$m時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律有
   E_p=$\frac{7}{6}mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}（\frac{7}{6}m）{v}_{2}^{2}$
解得v₂=$\sqrt{gR}$
質(zhì)量為$\frac{7}{6}$m的魚餌落到水面上時(shí)，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則
  x₂=v₂t+R      
可解得：x₂=4R
該投餌管繞AB管的中軸線00′在360°角的范圍內(nèi)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，魚餌能夠落到水面的最大面積為
$s=（π{x}_{2}^{2}-π{x}_{1}^{2}）=84π{R}^{2}$
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小V_C=$\sqrt{2gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p=3.5mgR；
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是84πR²

點(diǎn)評(píng) 本題考查豎立平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律等知識(shí)，關(guān)鍵是過程的把握和規(guī)律的靈活選擇．