Question

13．如圖所示，在傾角α=30°的光滑斜面頂端，固定一原長L₀=0.2m的輕質(zhì)彈簧，彈簧另一端與放在光滑斜面上質(zhì)量m=2kg的物體C相連后，彈簧的長度變?yōu)長₁=0.25m．斜面體與物體C一起可以繞過斜面頂點(diǎn)的豎直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，取重力加速度g=10m/s²，π²=10．（結(jié)果均保留2位有效數(shù)字）
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)速n₀=60r/min時(shí)，求彈簧的長度L₂．
（2）當(dāng)物體C對(duì)斜面恰好無壓力時(shí)，求物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 先求出彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)物體C對(duì)斜面C恰無壓力時(shí)，C只受重力和彈簧彈力，合力提供C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)物體受力分析，根據(jù)平衡條件及向心力公式求解此時(shí)的角速度，從而判斷當(dāng)轉(zhuǎn)速n₀=60r/min時(shí)，物體與斜面是否有壓力，再對(duì)物體受力分析，根據(jù)平衡條件及向心力公式求解此時(shí)的彈簧的長度L₂．

解答 解：（1）彈簧與C相連后，C處于靜止?fàn)顟B(tài)，則有：
k△x=mgsin30°
解得：k=$\frac{20×\frac{1}{2}}{（0.25-0.2）}=200N/m$
物體C對(duì)斜面C恰無壓力時(shí)，設(shè)彈簧形變量為x，物體繞AB軸做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁=（L₀+x）cosα    
對(duì)物體，在水平方向，有F₁cosα=m（2πn）²r₁   
在豎直方向，有F₁sinα=mg       
彈簧彈力F₁=kx          
解得：x=0.2m    n=1.13r/s，
則角速度ω=2πn=7.10rad/s
此時(shí)轉(zhuǎn)速n₀=60r/min=1r/s，則此時(shí)物體沒有脫離斜面，彈簧長度為L₂，
物體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂=L₂cosα，
對(duì)物體，在水平方向，有F₂cosα-F_Nsinα=m（2πn₀）²r₂   
在豎直方向，有F₂sinα+F_Ncosα=mg     
彈簧彈力F₂=k（L₂-L₀）    
解得：L₂=0.36m
（2）由上分析可知，當(dāng)物體C對(duì)斜面恰好無壓力時(shí)，則物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度7.10rad/s
答：（1）當(dāng)轉(zhuǎn)速n₀=60r/min時(shí)，求彈簧的長度L₂為0.36m；
（2）當(dāng)物體C對(duì)斜面恰好無壓力時(shí)，求物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為7.10rad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵是能正確對(duì)物體進(jìn)行受力分析，找出提供向心力的合外力，能根據(jù)平衡條件結(jié)合向心力公式求解，注意幾何關(guān)系在解題過程中的應(yīng)用，難度適中．