Question

19．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，規(guī)定經(jīng)過同心O點且水平向右為x軸正方向．在O點正上方距盤面高h(yuǎn)=2.5m處有一個可間斷滴水的容器，從t=0時刻開始，容器沿水平軌道向X軸正方向做初速度為零的勻加速直線運動．已知t=0時刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面時再滴下一滴水．取g=10m/s²．（結(jié)果可用根式表示）
（1）求每一滴水從離開容器到滴落至盤面的時間t；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，求圓盤的角速度ω應(yīng)滿足的條件；
（3）當(dāng)圓盤的角速度ω′=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$ad/s時，第二滴水與第三滴水在盤面上落點間的距離d=$\sqrt{97}$m，求容器的加速度a．

Answer 1

分析 （1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運動，水平方向做勻加速直線運動，水滴運動的時間等于豎直方向運動的時間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)；
（3）通過勻加速直線運動的公式求出兩個水滴在水平方向上的位移，再算出兩個位移之間的夾角，根據(jù)位移關(guān)系算出容器的加速度

解答 解：（1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運動．
每一滴水滴落到盤面上所用時間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$s
    （2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)．
所以ωt=kπ        
         即ω=kπ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…
    （3）第二滴水離開O點的距離為s₂=$\frac{1}{2}$at²+（at）t…①
           第三滴水離開O點的距離為s₃=$\frac{1}{2}$at²+（a2t）t…②
          （上面①②兩式中：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…③）
         又△θ=ωt=$\frac{2}{3}$π
      即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤上x軸方向及垂直x軸的方向上．
所以s₂²+s₃²-2x₂x₃cos△θ=d²…④
     聯(lián)列①②③④可得：a=4m/s²．
答：（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過$\frac{\sqrt{2}}{2}$s時間滴落到盤面上；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)為$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…
（3）容器的加速度a為4m/s²．

點評 該題涉及到運動的合成與分解，圓周運動，勻變速直線運動的相關(guān)規(guī)律，綜合性較強，難度較大