Question

一艘宇宙飛船繞著某行星作勻速圓周運動，已知運動的軌道半徑為r，周期為T，引力常量為G，行星半徑為R．求：
（1）行星的質(zhì)量M；
（2）行星表面的重力加速度g；
（3）行星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力等于向心力，可列式求解；
（2）根據(jù)星球表面重力等于萬有引力，可列式求解；
（3）根據(jù)在星球表面，萬有引力等與向心力，列式求解．

解答：（1）行星對飛船的萬有引力提供飛船所需向心力
       G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得
      M=

4π2r3

GT2

故行星的質(zhì)量為

4π2r3

GT2

．
（2）重力等于萬有引力
      m′g=

GMm′

R2

解得
  g=

GM

R2

=

G

R2

?

4π2r3

GT2

=

4π2r3

R2T2

故行星表面的重力加速度為

4π2r3

R2T2

．
（3）衛(wèi)星以第一宇宙速度繞行星附近作勻速圓周運動
    G

Mm′′

R2

=m′′

v2

R

解得
  v=

GM R

=

G R ? 4π2r3 GT2

=

4π2r3 RT2

故行星的第一宇宙速度為

4π2r3 RT2

．

點評：本題關(guān)鍵抓住星球表面重力等于萬有引力，人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力．