Question

16．如圖，真空中有一對(duì)豎直放置的平行金屬板，兩板之間的距離為d，在O點(diǎn)用長為l的絕緣輕繩系著質(zhì)量為m的帶電小球．當(dāng)兩板之間加上電壓U后，小球自O(shè)點(diǎn)正下方的A點(diǎn)開始向上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，之后又向下運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，…如此往復(fù)．已知OB與豎直方向的夾角α=60°，重力加速度大小為g，求（結(jié)果可以用根式表示）
（1）小球所帶的電荷量q；
（2）小球的動(dòng)能最大時(shí)輕繩與豎直方向的夾角θ為多少？最大動(dòng)能E_km為多少？

Answer 1

分析 （1）小球自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理列方程求解；
（2）小球由A運(yùn)動(dòng)到動(dòng)能最大處，由動(dòng)能定理列方程，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值即可．

解答 解：（1）設(shè)平行金屬板內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，小球自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理
qElsinα-mgl（1-cosα）=0，
而E=$\frac{U}mtp82ek$
解得：q=$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球由A運(yùn)動(dòng)到動(dòng)能最大處，由動(dòng)能定理可得：
qElsinθ-mgl（1-cosθ）=E_km
即E_km=mgl（$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ-1）
而$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（θ+60°）
故小球有最大動(dòng)能時(shí)，θ=30°
最大動(dòng)能$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．
答：（1）小球所帶的電荷量為$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球的動(dòng)能最大時(shí)輕繩與豎直方向的夾角θ為30°；最大動(dòng)能E_km為$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，可以從兩條線索展開：其一，力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動(dòng)能定理進(jìn)行解答．