Question

9．如圖所示，質(zhì)量均為km（其中k=1，2，3…）的斜劈A和B靜止放在光滑的水平面上，斜劈A和B的曲面為半徑相同的四分之一的圓周，圓周下端與水平面相切，一質(zhì)量為m的小球位于兩斜劈的中間某位置，現(xiàn)給小球水平向右的初速度v₀，求：
（1）若將斜劈B固定，小球剛好滑到斜劈頂端，斜劈的半徑多大；
（2）若兩斜劈均不固定，當(dāng)小球第一次從斜劈B滑下離開時，小球的速度多大；
（3）在滿足（2）問前提下，若小球至少2次向右滑上斜劈B，k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動能定理可以求出斜劈的半徑．
（2）系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律求出速度．
（3）由動量守恒定律求出速度，然后根據(jù)題意確定k的值

解答 解：（1）斜劈B固定，小球剛好滑到斜劈頂端，
小球運動過程，由動能定理得：-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得，斜劈的半徑：R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）設(shè)小球第一次從斜劈B滑下離開時，小球和斜劈B的速度分別為v₁和v₂，
以向右為正方向，由動量守恒可得：mv₀=mv₁+kmv₂，
由機械能守恒可得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²，
聯(lián)立解得小球速度為：v₁=$\frac{1-k}{1+k}$v₀，斜劈B速度為：v₂=$\frac{2}{1+k}$v₀；
（3）設(shè)小球第一次滑下離開斜劈A時，小球和斜劈A的速度分別為v₁′和v₂′，
以向右為正方向，由動量守恒可得：mv₀=mv₁+kmv₂，聯(lián)立解得小球的速度：v₁′=$\frac{1-k}{1+k}$v₁=$（\frac{1-k}{1+k}）^{2}$v₀，
若小球至少兩次向右滑上斜劈B，則必有：|v₁′|＞v₂，化簡得：k²-4k-1＞0，
解得：k＞2+$\sqrt{5}$，故k=5、6、7、…；
答：（1）若將斜劈B固定，小球剛好滑到斜劈頂端，斜劈的半徑為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）若兩斜劈均不固定，當(dāng)小球第一次從斜劈B滑下離開時，小球的速度為$\frac{1-k}{1+k}$v₀；
（3）在滿足（2）問前提下，若小球至少2次向右滑上斜劈B，k的取值范圍是：k=5、6、7、…．

點評 本題考查了動量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運動過程，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題．