Question

4．假設(shè)人類登上火星后，在火星上進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，在固定的豎直光滑圓軌道內(nèi)部，一小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)的速度為v，軌道半徑為r．若已知火星的半徑為R，引力常量為G，則火星質(zhì)量為（　�。�

• A． $\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• B． $\frac{5{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• C． $\frac{{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$
• D． $\frac{5{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$

Answer 1

分析 小球在最高點(diǎn)的速度滿足火星的引力提u供其沿圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得火星表面的重力加速度；由火星表面的物體的重力約等于物體與火星的萬有引力可得火星的質(zhì)量．

解答 解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，火星的質(zhì)量為M，因小球在最高點(diǎn)恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)時(shí)小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{r}$
得g=$\frac{{v}^{2}}{r}$
對(duì)于任一月球表面的物體m′，萬有引力等于其重力，即：
m′g=$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$
由③④得，M=$\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$   選項(xiàng)A正確
故選：A

點(diǎn)評(píng) 在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬有引力恰提供其繞星球表面運(yùn)行的向心力時(shí)的速度，此時(shí)軌道半徑就是星球的半徑．