Question

12．如圖甲所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導(dǎo)軌，NQ⊥MN，導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)．導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個(gè)R=4Ω的電阻．有一勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面且方向向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=1T．將一根質(zhì)量為m=0.05kg電阻為r（大小未知）的金屬棒ab緊靠NQ放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，當(dāng)金屬棒滑行至cd處時(shí)達(dá)到穩(wěn)定速度，已知在此過程中通過金屬棒截面的電量q=0.2C，且金屬棒的加速度a與速度v的關(guān)系如圖乙所示，設(shè)金屬棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)過程中始終與NQ平行．取g=10m/s²．求：

（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）cd離NQ的距離s；
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)剛釋放時(shí)，導(dǎo)體棒中沒有感應(yīng)電流，所以只受重力、支持力與靜摩擦力，由乙圖讀出加速度，再由牛頓第二定律可求出動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）當(dāng)金屬棒速度穩(wěn)定時(shí)，則受到重力、支持力、安培力與滑動(dòng)摩擦力達(dá)到平衡，這樣可以列出安培力公式，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的公式，再由閉合電路毆姆定律，列出平衡方程可求出金屬棒的內(nèi)阻；結(jié)合閉合電路的歐姆定律，利用通過棒的電量來確定發(fā)生的距離．
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，由動(dòng)能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功導(dǎo)致電能轉(zhuǎn)化為熱能．

解答 解：（1）由乙圖知，當(dāng)v=0時(shí)，a=2m/s²．由牛頓第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.5
（2）由圖象可知：當(dāng)v_m=2m/s時(shí)，a=0，金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度，則有：
感應(yīng)電動(dòng)為：E=B₀Lv
安培力為：F_A=B₀IL
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
穩(wěn)定時(shí)金屬棒做勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，可得：mgsinθ=F_A+μmgcosθ
代入數(shù)據(jù)解得：r=1Ω
在此過程中通過金屬棒截面的電量為：q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$△t=$\frac{△Φ}{R+r}$
又磁通量的變化量為：△Φ=B₀L•s
代入數(shù)據(jù)解得：s=2m                                                       
（3）棒下滑的過程中重力、摩擦力與安培力做功，得：
mgh-μmgs•cos37°-W_F=$\frac{1}{2}$mv_m²-0
回路中產(chǎn)生的總焦耳熱為：Q_總=W_F；
電阻R上產(chǎn)生的熱量為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q_總；
代入數(shù)據(jù)得：Q_R=0.08J
答：（1）金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.5；
（2）cd離NQ的距離s是2m；
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量是0.08J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢公式，還有動(dòng)能定理．同時(shí)當(dāng)金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．關(guān)鍵要用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．