Question

7．如圖（a）所示，傾角為θ的平行金屬軌道AN和A′N′間距為L，與絕緣光滑曲面在NN′處用平滑圓弧相連接，金屬軌道的NN′和MM′區(qū)間處于與軌道面垂直的勻強磁場中，軌道頂端接有定值電阻R和電壓傳感器，不計金屬軌道電阻和一切摩擦，PP′是質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒．現(xiàn)開啟電壓傳感器，將該金屬棒從曲面上高H處靜止釋放，測得初始一段時間內(nèi)的U-t（電壓與時間關系）圖象如圖（b）所示（圖中U_o為已知）．求：
（1）t₃-t₄時間內(nèi)金屬棒所受安培力的大小和方向；
（2）t₃時刻金屬棒的速度大小；
（3）t₁-t₄時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的總熱能Q_R；

Answer 1

分析 （1）t₃-t₄時間內(nèi)金屬棒的運動從MM′返回NN′，由受力平衡求解安培力大小和方向．
（2）結(jié)合法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力表達式，可得t₃時刻金屬棒的速度大小．
（3）t₄時刻棒NN′位置，由能量守恒可得電阻R產(chǎn)生的總熱能Q_R；

解答 解：（1）t₃-t₄時間內(nèi)金屬棒做勻速運動，由平衡條件得：
F_A=mgsinθ，方向：沿金屬軌道平面斜向上．
（2）在t₃時刻，金屬棒受力平衡，則有：
$mgsinθ=B\frac{U_o}{R}L$，
得：$B=\frac{mgRsinθ}{{{U_0}L}}$
設金屬棒速度為v₂，則有：${U_o}=\frac{{{v_2}BL}}{R+r}R$，
得：${v_2}={U_o}\frac{R+r}{BLR}={U_o}\frac{R+r}{{\frac{mgRsinθ}{{{U_0}L}}LR}}=\frac{{U_o^2（{R+r}）}}{{mg{R^2}sinθ}}$
（3）金屬棒第一次滑到NN′的速度為v₁，則有：
$mgH=\frac{1}{2}mv_1^2$
對于金屬棒從開始到t₄時間內(nèi)，由能量守恒得：
${Q_R}=\frac{{\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2}}{R+r}R=\frac{{mgH-\frac{1}{2}m{{[{\frac{{U_o^2（{R+r}）}}{{mg{R^2}sinθ}}}]}^2}}}{R+r}R$
答：（1）t₃-t₄時間內(nèi)金屬棒所受安培力的大小為mgsinθ，方向：沿金屬軌道平面斜向上；
（2）t₃時刻金屬棒的速度大小為$\frac{{U}_{0}（R+r）}{mg{R}^{2}sinθ}$；
（3）t₁-t₄時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的總熱能Q_R是$\frac{mgH-\frac{1}{2}m[\frac{{U}_{0}^{2}（R+r）}{mg{R}^{2}sinθ}]^{2}}{R+r}R$．

點評 正確分析金屬棒的運動狀態(tài)是解題的關鍵，要知道金屬棒兩端的電壓不變時做勻速運動，再結(jié)合平衡條件、法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力、能量守恒定律等規(guī)律解答．