Question

3．某運動員做跳傘訓(xùn)練，他從懸停在空中的直升飛機上由靜止跳下，做自由落體運動，跳離飛機一段時間后打開降落傘做減速下落，然后做勻速運動落到地面，他打開降落傘的速度圖線如圖a．降落傘用8根對稱的繩懸掛運動員，每根繩與中軸線的夾角均為37°，如圖b．已知他打開降落傘落到地面所用時間為t=20s，人的質(zhì)量為m₁=60kg，降落傘質(zhì)量為m₂=10kg，不計人所受的阻力，打開傘后所受阻力f與速度v成正比，即f=kv（g取10m/s²，sin37²=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）阻力系數(shù)k和打開傘瞬間的加速度a的大小和方向？
（2）懸繩能夠承受的拉力至少為多少？
（3）人下落的距離為多大？

Answer 1

分析 （1）抓住平衡，根據(jù)kv=（m₁+m₂）g求出阻力系數(shù)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大小；
（2）對人分析，根據(jù)牛頓第二定律求出拉力的大��；
（3）根據(jù)速度位移公式求出打開降落傘前人下落的高度，然后根據(jù)運動學(xué)公式和牛頓第二定律求出打開降落傘后人做變加速運動下落的高度，二者相加即為人下落的距離．

解答 解：（1）由圖a可知，當速度v=5m/s時，物體做勻速運動，受力平衡，
則有：kv=（m₁+m₂）g，
k=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{v}$=140N•s/m．
打開傘瞬間對整體，根據(jù)牛頓第二定律可得，
kv₀-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
解得：a=$\frac{k{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$-g=30m/s²，方向豎直向上．
（2）設(shè)每根繩拉力為T，以運動員為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得，
則有：8Tcos37°-m₁g=m₁a，
解得：T=$\frac{{m}_{1}（g+a）}{8cos37°}$=375N，
由牛頓第三定律得，懸繩能承受的拉力為至少為375N．
（3）由v-t圖知，人打開降落傘時速度v₀=20m/s，
則打開降落傘前人下落的距離為：
h₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=20m，
設(shè)人和傘的總質(zhì)量為m，打開降落傘后人做變加速運動，任意取無限小的一段時間△t，
則有：△h=v△t------①
又因為v=$\frac{f}{k}$------②
根據(jù)牛頓第二定律可得，
mg-f=ma------③
聯(lián)立①②③可解得：△h=$\frac{mg-ma}{k}$△t，
由于a△t=△v，
則有：△h=$\frac{mg}{k}$△t-$\frac{m}{k}$△v，
兩邊求和：h₁=$\frac{mg}{k}$t-$\frac{m}{k}$[（v₁-v₀）+（v₂-v₁）+…+（v_n-v_n-1）]，
解得：h₁=107.5m，
則人下落的距離h=h₀+h₁=127.5m．
答：（1）阻力系數(shù)k為140N•s/m；打開傘瞬間的加速度a的大小為30m/s²，方向豎直向上；
（2）懸繩能夠承受的拉力至少為375N；
（3）人下落的距離為127.5m．

點評 本題考查了共點力平衡和牛頓第二定律的基本運用，關(guān)鍵合理地選擇研究的對象，通過圖象能夠得出人和降落傘的運動規(guī)律，運用牛頓第二定律即可進行求解，難度不大．