Question

20．在一些科幻電影中，我們常常會(huì)看到這樣的場(chǎng)景，人類將地球打通，建造直通地球兩端的隧道（墜梯），人們乘坐墜梯直接從地球一段自由下落到另外一端，整個(gè)過(guò)程完全由引力操縱，已知地球半徑為R，萬(wàn)有引力常量G，地球是質(zhì)量分布均勻的球體密度為ρ．求：
（1）地球表面的加速度．
（2）墜梯內(nèi)重力加速度隨距離地心距離x的變化規(guī)律（已知質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部物體的引力為0）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列式求解即可；
（2）質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部物體的引力為零，然后根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列式求解加速度即可．

解答 解：（1）在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
其中：
M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
聯(lián)立解得：
g=$\frac{4}{3}πGρR$   ①
（2）質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部物體的引力為零，在地球內(nèi)部距離地心x距離處，根據(jù)牛頓第二定律，有：
G$\frac{M′m}{{x}^{2}}=ma$
其中：
M′=ρ•$\frac{4}{3}π{x}^{3}$
解得：
a=$\frac{4}{3}πGρx$  ②
聯(lián)立①②解得：
$a=\frac{x}{R}g$
答：（1）地球表面的加速度為$\frac{4}{3}πGρR$．
（2）墜梯內(nèi)重力加速度隨距離地心距離x的變化規(guī)律為$a=\frac{x}{R}g$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要運(yùn)用“質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部物體的引力為零”的結(jié)論，然后萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列式分析．