Question

3．我國(guó)“神舟十號(hào)”飛船已于2013年6月11日17時(shí)38分成功發(fā)射，并與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器成功交會(huì)對(duì)接，飛行乘組由3名航天員組成，假設(shè)“神舟十號(hào)”在飛行的過(guò)程中繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球的半徑為R，地球的表面的重力加速度為g，飛船繞地球運(yùn)行的周期為T．求：
（1）飛船離地面的高度h；
（2）如圖所示，衛(wèi)星A與“神舟十號(hào)”B在同一軌道平面，已知衛(wèi)星A的運(yùn)行方向與B相同，A的軌道為B的軌道的2倍，某時(shí)刻A、B相距最近，則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱��?

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及萬(wàn)有引力等于重力求出飛船離地面的高度h．
某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差2π時(shí)，即A比B多轉(zhuǎn)一圈，相距最近．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得GM=gR²．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{（\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}）^{3}}=\sqrt{（\frac{2}{1}）^{3}}$
故${T}_{A}=2\sqrt{2}T$
至少經(jīng)過(guò)時(shí)間t它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱�，此時(shí)A比B多轉(zhuǎn)一圈，
即 $\frac{t}{{T}_{B}}-\frac{t}{{T}_{A}}$=1
即$（\frac{1}{T}-\frac{1}{2\sqrt{2}T}）t=1$
解得：t=$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}T$
答：（1）飛船離地面的高度h為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）至少經(jīng)過(guò)$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}T$它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱��?/p>

點(diǎn)評(píng) 本題既可應(yīng)用萬(wàn)有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，用到的數(shù)學(xué)變換相對(duì)較多，增加了本題難度．