Question

11．物體可以靜止在傾斜角為θ的斜面上，現(xiàn)用水平外力F推物體，如圖所示，在外力F由零逐漸增加的過程中，物體始終保持靜止，動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，求：
（1）F為怎樣的值時，物體會保持靜止；
（2）該過程中物體所受摩擦力怎樣變化？
（3）F為怎樣的值時，物體從靜止開始沿斜面以加速度a運動．

Answer 1

分析 （1）F的值是一個范圍，先根據(jù)最小值時，物體所受摩擦力沿斜面向上，F(xiàn)為最大值時，物體所受摩擦力沿斜面向下，根據(jù)牛頓第二定律可求出F大�。�
（2）對滑塊受力分析，受推力、重力、支持力和靜摩擦力；然后根據(jù)共點力平衡條件列式分析．
（3）把加速度a為沿斜面向上，和沿斜面向下，分別討論分析，根據(jù)牛頓第二定律可得F的值．

解答 解：（1）首先以物體為研究對象，當F較小時，如圖物體受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F．物體剛好靜止時，應是F的邊界值，此時的摩擦力為最大靜摩擦力，可近似看成f_靜=μN（最大靜摩擦力）．
據(jù)牛頓第二定律列方程，
平行于斜面：mgsinθ-f_靜-Fcosθ=0
垂直于斜面：N-mgcosθ-Fsinθ=0
聯(lián)立以上三式，得：F=$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$
當F從此值開始增加時，靜摩擦力方向開始仍然斜向上，但大小減小，
當F增加到：Fcosθ=mgsinθ時，即：F=mg•tgθ時，F(xiàn)再增加，摩擦力方向改為斜向下，
仍可以根據(jù)受力分析圖列出方程
平行于斜面：mgsinθ+f-Fcosθ=0
垂直于斜面：N-mgcosθ-Fsinθ=0
隨著F增加，靜摩擦力增加，F(xiàn)最大值對應斜向下的最大靜摩擦力．
聯(lián)立解得：F_MAX=$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$
要使物體靜止，F(xiàn)的值應為：$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$≤F≤$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$
（2）對滑塊受力分析，受推力、重力、支持，力和靜摩擦力（先設為向上），如圖所示：

①當Fcosθ＜mgsinθ時，靜摩擦力平行斜面向上，根據(jù)平衡條件，有：
f=mgsinθ-Fcosθ，故靜摩擦力隨著推力的增加而減�。�
②當Fcosθ＞mgsinθ時，靜摩擦力平行斜面向下，根據(jù)平衡條件，有：
f=Fcosθ-mgsinθ，故靜摩擦力隨著推力的增加而增加；
故在外力F由零逐漸增加的過程中，靜摩擦力先減小后增加；
（3）假設物體以加速度a沿斜面向下運動，設F此時的值為F₂，受力如圖甲所示

根據(jù)牛頓第二定律，沿斜面方向：
mgsinθ-μ（mgcosθ+F₂sinθ）-F₂cosθ=ma
得：F₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）-ma}{cosθ+μsinθ}$
假設物體以加速度a沿斜面向上運動，設F此時的值為F₃，受力分析如圖乙所示
根據(jù)牛頓第二定律，
沿斜面方向：F₃-mgsinθ-μ（mgcosθ+F₃sinθ）=ma
得：${F}_{3}=\frac{mg（sinθ+μcosθ）+ma}{cosθ-μsinθ}$
答：（1）F滿足$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$≤F≤$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$時，物體會保持靜止；
（2）該過程中物體所受摩擦力先減小后增大；
（3）F為$\frac{mg（sinθ+μcosθ）+ma}{cosθ-μsinθ}$值時，物體從靜止開始沿斜面以加速度a沿斜面向上運動；
F為$\frac{mg（sinθ-μcosθ）-ma}{cosθ+μsinθ}$時，物體從靜止開始沿斜面以加速度a沿斜面向下運動．

點評 本題關鍵是對物體受力分析后，根據(jù)共點力平衡條件列式分析，要分情況討論，較難．