Question

10．隨著我國(guó)探月三步走計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)，中華兒女到月球上去旅游不再是夢(mèng)想，將來有一天你可能會(huì)成功登上月球．若考慮月球自轉(zhuǎn)，設(shè)其自轉(zhuǎn)周期為T．用彈簧測(cè)力計(jì)在月球赤道測(cè)得某物體的重量為在其兩極時(shí)的k倍（k＜1）．假設(shè)月球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G．求月球的密度ρ

Answer 1

分析 在兩極，被測(cè)物的重力等于萬有引力，在赤道，萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供向心力，通過以上兩個(gè)關(guān)系球月球的質(zhì)量，結(jié)合月球的體積求出月球的密度．

解答 解：設(shè)月球的質(zhì)量為M_月，半徑為R，被測(cè)物體的質(zhì)量為m，在兩極測(cè)得物體的重量為P，
在兩極P=$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}$，
在赤道$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}-kP=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
月球的體積$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
月球的密度$ρ=\frac{{M}_{月}}{V}$，
聯(lián)立解得$ρ=\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．
答：月球的密度為$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在兩極和赤道重力和萬有引力的關(guān)系，結(jié)合密度公式進(jìn)行求解，難度不大．