Question

5．如圖所示，半徑R=0.25m的光滑四分之一圓軌道MN豎直固定放置，末端N與一長L=1m的水平傳送帶相切，水平銜接部分摩擦不計，傳動輪（輪半徑很�。┳黜槙r針轉動，帶動傳送帶以恒定的速度ν₀運動．傳送帶離地面的高度h=1.25m．現(xiàn)使質量為m=0.5kg的小物塊從M點由靜止開始釋放，經(jīng)過傳送帶后做平拋運動，最終落到地面上，A點是墻角，傳送帶與小物塊之間的動摩擦因數(shù)μ．已知$\sqrt{5}$≈2.2，g取10m/s²．求：
（1）小物塊到達圓軌道末端N時對軌道的壓力；
（2）若ν₀=3m/s，μ=0.4，求物塊在傳送帶上運動因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）若μ=0.2，皮帶速度v₀可以從0開始連續(xù)變化，求小物塊落在地面上的可能范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律和向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上加速運動時的加速度，進而求出加速到與傳送帶達到同速所需要的時間，根據(jù)Q=f△s知產(chǎn)生熱量；
（3）根據(jù)平拋運動的基本規(guī)律即可求解．

解答 解：（1）設物塊滑到圓軌道末端速度ν₁，根據(jù)機械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²
設物塊在軌道末端所受支持力的大小為F，
根據(jù)牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得：v₁=2.2m/s，F(xiàn)=15N        
根據(jù)牛頓第三定律，對軌道壓力大小為15N，方向豎直向下   
（2）物塊在傳送帶上加速運動時，由μmg=ma，得a=μg=4m/s²
加速到與傳送帶達到同速所需要的時間t₁=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{a}$=$\frac{3-2.2}{4}$=0.2s    
位移s₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}$t₁=$\frac{2.2+3}{2}×0.2$=0.52m  
產(chǎn)生的熱量Q=μmg×（v₀t-s₁）=1.04J
（3）物塊由傳送帶右端平拋h=$\frac{1}{2}$gt² 
當物塊在傳送帶上一直加速運動時，做平拋運動的速度最大，假設物塊在傳送帶上達到的最大速度為v，
由動能定理：μmgL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²
當物塊在傳送帶上一直減速運動時，做平拋運動的速度最小，假設物塊在傳送帶上達到的最小速度為v′，
由動能定理：-μmgL=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv₁²
則落地距離A點距離為x，則v′t≤x≤vt
聯(lián)立上式解得0.5m≤x≤1.5m
答：（1）小物塊到達圓軌道末端N時對軌道的壓力大小為15N，方向豎直向下；
（2）若ν₀=3m/s，物塊在傳送帶上運動因摩擦產(chǎn)生的熱量為1.04J；
（3）小物塊落在地面上的可能范圍0.5m≤x≤1.5m

點評 本題主要考查了平拋運動基本公式、牛頓第二定律、向心力公式以及運動學基本公式的直接應用，注意傳送帶上摩擦力的方向，可以與速度相同，也可以與速度方向相反，難度適中．