Question

20．如圖所示，水平桌面光滑絕緣，豎直面MN的左側存在水平向左、場強為E的勻強電場，豎直面PQ和MN相互平行，距離為L，這兩個平面之間存在豎直向下的勻強磁場，在PQ右側存在豎直向上的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小都相等．有一個質量為m、帶電荷量為-q的帶電小球，在桌面上的O點無初速度釋放，O到MN面的距離為L，小球經過在電場和磁場中的運動后又回到O點，求小球的運動周期和一個周期內運動的路程．

Answer 1

分析 小球從O點出發(fā)，在電場中做勻加速直線運動，然后進入磁場做圓周運動運動，再返回電場做勻減速直線運動，最后回到O點，完成一次周期性運動，所用時間為一個周期，粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應用勻變速運動規(guī)律、牛頓第二定律與圓周運動的周期公式求出粒子的運動周期與一個周期內的路程．

解答 解：小球從O點出發(fā)，在電場中做勻加速直線運動，然后進入磁場做圓周運動運動，
再返回電場做勻減速直線運動，最后回到O點，完成一次周期性運動，小球運動軌跡如圖所示：

小球開始在電場中做初速度為零的勻加速直線運動，
L=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，解得：t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
在一個周期內，小球在電場中的運動時間：t_電=2t₁=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
小球在磁場中做圓周運動，由于兩磁場的磁感應強度相等，
小球的軌道半徑：r=$\frac{mv}{qB}$都相等，△O₁O₂O₃為等邊三角形，
粒子在磁場中做勻速運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
小球在磁場中的運動時間：t_磁=2t₂+t₃=2×$\frac{60°}{360°}$T+$\frac{360°-60°}{360°}$T=$\frac{7πm}{3qB}$，
小球的周期：T=t_電+t_磁=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$；
小球進入磁場時的速率為v，則：v²=2$\frac{qE}{m}$L，v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，
在一個周期內，小球的路程：s=s_電+s_磁=2L+vt_磁=2L+$\frac{7π}{3B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$；
答：小球的運動周期為：2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$，一個周期內運動的路程為：2L+$\frac{7π}{3B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是解題的關鍵；分析清楚運動過程后，應用運動學公式、粒子在磁場中運動的周期公式可以解題．