Question

20．如圖所示，水平桌面光滑絕緣，豎直面MN的左側(cè)存在水平向左、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，豎直面PQ和MN相互平行，距離為L(zhǎng)，這兩個(gè)平面之間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在PQ右側(cè)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都相等．有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的帶電小球，在桌面上的O點(diǎn)無(wú)初速度釋放，O到MN面的距離為L(zhǎng)，小球經(jīng)過在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)后又回到O點(diǎn)，求小球的運(yùn)動(dòng)周期和一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程．

Answer 1

分析 小球從O點(diǎn)出發(fā)，在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，再返回電場(chǎng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最后回到O點(diǎn)，完成一次周期性運(yùn)動(dòng)，所用時(shí)間為一個(gè)周期，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)周期與一個(gè)周期內(nèi)的路程．

解答 解：小球從O點(diǎn)出發(fā)，在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，
再返回電場(chǎng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最后回到O點(diǎn)，完成一次周期性運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

小球開始在電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
L=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，解得：t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
在一個(gè)周期內(nèi)，小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_電=2t₁=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由于兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，
小球的軌道半徑：r=$\frac{mv}{qB}$都相等，△O₁O₂O₃為等邊三角形，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
小球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_磁=2t₂+t₃=2×$\frac{60°}{360°}$T+$\frac{360°-60°}{360°}$T=$\frac{7πm}{3qB}$，
小球的周期：T=t_電+t_磁=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$；
小球進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v，則：v²=2$\frac{qE}{m}$L，v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，
在一個(gè)周期內(nèi)，小球的路程：s=s_電+s_磁=2L+vt_磁=2L+$\frac{7π}{3B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$；
答：小球的運(yùn)動(dòng)周期為：2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{7πm}{3qB}$，一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為：2L+$\frac{7π}{3B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵；分析清楚運(yùn)動(dòng)過程后，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．