Question

4．中國計劃在2017年實現(xiàn)返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，屆時發(fā)射一顆運動半徑為r的繞月衛(wèi)星，登月著陸器從繞月衛(wèi)星出發(fā)，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經(jīng)多次碰撞和彈跳才停下來．假設(shè)著陸器在某次彈起到最大高度h時速度為v₁，緊接著著陸時速度為v₂，已知月球半徑為R，著陸器質(zhì)量為m，不計一切阻力和月球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）月球的密度是多少？
（2）若月球同步衛(wèi)星軌道半徑為4R，月球自轉(zhuǎn)周期是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)水平位移和初速度求出平拋運動的時間，結(jié)合位移時間公式求出月球表面的重力加速度，結(jié)合密度公式求密度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，求出衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機械能守恒有：mg_月h+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得出月球表面的重力加速度為：g月=$\frac{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}{2h}$----------①
根據(jù)GM=${g}_{月}{R}^{2}$和$ρ.\frac{4}{3}π{R}^{3}=M$知，月球的密度ρ=$\frac{3（{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}）}{8GRπh}$
（2）由萬有引力提供向心力有：$\frac{GMm}{16{R}^{2}}=4mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$------------②
黃金代換：GM=${g}_{月}{R}^{2}$---------③
聯(lián)合得：T=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{2Rh}{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}}$
答：（1）月球的密度是$\frac{3（{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}）}{8GRπh}$（2）若月球同步衛(wèi)星軌道半徑為4R，月球自轉(zhuǎn)周期是$16π\(zhòng)sqrt{\frac{2Rh}{{V}_{2}^{2}-{V}_{1}^{2}}}$

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力．并能靈活運用．