Question

17．一傾角為θ=45°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板．在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m=0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點）．小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．設小物塊與擋板碰撞過程中無能量損失．重力加速度g=10m/s²．
（1）求小物塊第一次與擋板碰撞前的速度；
（2）求小物塊運動的總路程；
（3）求停止運動前，小物塊對擋板的總沖量．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求解出第一次碰撞前的速度；
（2）對全程由動能定理可求得小物塊運動的總路程；
（3）根據(jù)動量定理得到第一次碰撞過程的沖量；再根據(jù)動能定理求解出第一次碰撞后上升的高度和返回后的速度；根據(jù)動量定理得到第二次碰撞過程的沖量；發(fā)現(xiàn)規(guī)律，則可得出總的沖量．

解答 解：（1）設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v．
由功能關系得
mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²+μmgcosθ$\frac{{h}_{0}}{sinθ}$
解得：
v=4m/s
（2）全程由動能定理：
mgh₁-fs=0
解得：s=5$\sqrt{2}$m/s=7.07m；
（3）以沿斜面向上為動量的正方向．按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量
I=mv-m（-v）
設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h′，則
$\frac{1}{2}$mv²=mgh′=μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
同理，有mgh′=$\frac{1}{2}$mv′²+μmgcosθ$\frac{h′}{sinθ}$
I′=mv′-m（-v′）
式中，v’為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I′為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量．得
I′=KI  式中
k=$\sqrt{\frac{tanθ-μ}{tanθ+μ}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 
第n次碰撞后，給擋板的沖量為：I_n=kⁿI₁
則停止運動前，小物塊對擋板的總沖量為I=$\frac{{I}_{1}}{1-k}$
代入數(shù)據(jù)得I=0.70（3+$\sqrt{6}$）NS=3.92N•s
答：（1）小物塊第一次與擋板碰撞前的速度為4m/s；
（2）小物塊運動的總路程為7.07m；
（3）停止運動前，小物塊對擋板的總沖量為3.92N•s．

點評 本題關鍵是分析清楚物體的運動規(guī)律，然后根據(jù)動能定理、動量定理列式求解出總沖量，最后化解出最簡形式．注意數(shù)學歸納法的正確應用．