Question

6．如圖所示的坐標(biāo)系中，x=-2cm處有一個(gè)垂直x軸放置的紅熱燈絲（能發(fā)射電子，電子進(jìn)入電場(chǎng)的速度為零），長度為l=1cm．燈絲與y軸間存在著沿x軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=1000V/m，在y軸右側(cè)某區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B=1.5×10^-3T．已知電子的質(zhì)量m=9.0×10^-31kg，電子質(zhì)量e=1.6×10^-19C重力不計(jì)．
（1）求電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若使所有電子能通過x軸上的P（1.5，0）點(diǎn)，求所設(shè)置磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）先由動(dòng)能定理求出電子在加速電場(chǎng)中獲得的速度，再由牛頓第二定律求解電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）最上端的電子進(jìn)過磁場(chǎng)后經(jīng)過P點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知其軌跡為$\frac{1}{4}$圓弧OP，磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，由幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)，獲得速度v，則 eE|x|=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為R，則由牛頓第二定律得：
vB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：R=0.01m
（2）最上端的電子進(jìn)過磁場(chǎng)后經(jīng)過P點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知其軌跡為$\frac{1}{4}$圓弧OP，磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，如圖所示，其為最小磁場(chǎng)的右邊界．
又因?yàn)樗�有電子�?jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均經(jīng)過P點(diǎn)，因此磁場(chǎng)應(yīng)該是圓形磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)半徑與電子的軌道半徑相等，因此最小磁場(chǎng)的左邊界應(yīng)與圓弧OP關(guān)于直線OP對(duì)稱，如圖所示，所以最小面積為  S=2（$\frac{1}{4}π{R}^{2}$-$\frac{1}{2}{R}^{2}$）
代入解得：S=5.7×10^-5m²
答：（1）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為0.01m；
（2）若使所有電子能通過x軸上的P（1.5，0）點(diǎn)，所設(shè)置磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為5.7×10^-5m²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查磁場(chǎng)區(qū)域面積的極值問題，此題的關(guān)鍵是確定出圓心及其軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)分析．