Question

7．如圖所示，水平地面上有一質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊放在長(zhǎng)木板的最右端，已知m與M之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，從某時(shí)刻起物塊m以v₁的水平初速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)木板M在水平外力F的作用下始終向右以速度v₂（v₂＞v₁）勻速運(yùn)動(dòng)，求：
（1）在物塊m向左運(yùn)動(dòng)過程中外力F的大小；
（2）木板至少多長(zhǎng)物塊不會(huì)從木板上滑下來？

Answer 1

分析 （1）木板M勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)其受力情況，由平衡條件求解．
（2）物塊恰好從木板M滑下時(shí)，兩者位移之和等于板長(zhǎng)，且速度與木板相同，根據(jù)位移關(guān)系和速度關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）在水平方向上，木板M受到地面向左的滑動(dòng)摩擦力、m向左的滑動(dòng)摩擦力和向右的拉力F，根據(jù)平衡條件得：
F=μ₁mg+μ₂（M+m）g
（2）m先向左勻減速運(yùn)動(dòng)，勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：a=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g
減速至速度為零的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{μ}_{1}g}$
物塊向左勻減速運(yùn)動(dòng)的位移為：x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{μ}_{1}g}$
設(shè)物塊向右勻加速至速度與木板M速度相同用時(shí)為t₂，則有：t₂=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{{v}_{2}}{{μ}_{1}g}$
向右勻加速的位移為：x₂=$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{μ}_{1}g}$
此過程木板M向右勻速運(yùn)動(dòng)的總位移為：x′=v₂（t₁+t₂）
故物塊不會(huì)從木板上滑下來木板最小的長(zhǎng)度為：L=x′+x₁-x₂．
解得：L=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2{μ}_{1}g}$
答：（1）在物塊m向左運(yùn)動(dòng)過程中外力F的大小是μ₁mg+μ₂（M+m）g；
（2）木板至少長(zhǎng)為$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2{μ}_{1}g}$時(shí)物塊不會(huì)從木板上滑下來．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一、正確分析物塊的運(yùn)動(dòng)情況，知道物塊先向左減速后向右加速．二要把握不滑下木板的臨界條件．