Question

20．我國自主研發(fā)的首顆高分辨率對地觀測衛(wèi)星“高分一號”，于2013年4月12日由長征二號丁運載火箭發(fā)射升空，2013年12月正式投入使用，該衛(wèi)星對地面拍攝的分辨率可達2米，可對全球進行掃描拍攝，達到了世界的先進水平．設“高分一號”衛(wèi)星繞地球的南北兩極做勻速圓周運動，對地球的張角為120°，如圖所示，衛(wèi)星在A點．已知地面的重力加速度為g，地球的半徑為R，萬有引力常量為G．求
（1）“高分一號”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的速度為多大？
（2）若要在一天的時間內(nèi)（用T₀表示）對地球進行全景掃描，且只能在有太陽光照的部分進行掃描，則它每次掃描的寬度至少多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖示由幾何關系確定衛(wèi)星繞地球圓周運動的軌道半徑，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和地球表面重力與萬有引力相等求得衛(wèi)星運行速度；
（2）由地球自轉角速度求出衛(wèi)星繞行地球一周的時間內(nèi)，地球轉過的圓心角，再根據(jù)弧長與圓心角的關系求解．

解答 解：（1）由圖示幾何關系有，該衛(wèi)星繞地球圓周運動的軌道半徑r=$\frac{R}{sin\frac{120°}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
在地球表面重力等于萬有引力，有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得衛(wèi)星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（\frac{2\sqrt{3}}{3}R）^{3}}{g{R}^{2}}}$
地球自轉角速度為ω=$\frac{2π}{{T}_{0}}$                
在衛(wèi)星繞行地球一周的時間T內(nèi)，地球轉過的圓心角為
θ=ωT=$\frac{2π}{{T}_{0}}$T              ⑤
那么攝像機轉到赤道正上方時攝下圓周的弧長為s=θR=$R\frac{2π}{{T}_{0}}T$=$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．
答：（1）“高分一號”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的速度為$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$；
（2）若要在一天的時間內(nèi)（用T₀表示）對地球進行全景掃描，且只能在有太陽光照的部分進行掃描，則它每次掃描的寬度至少為$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．

點評 解決本題的關鍵一是根據(jù)幾何關系求得衛(wèi)星軌道半徑，二是根據(jù)重力與萬有引力相等及萬有引力提供圓周運動向心力分析衛(wèi)星的線速度與周期等物理量．