Question

9．如圖甲所示，兩根完全相同的光滑導(dǎo)軌固定，每根導(dǎo)軌均由兩段與水平成θ=30°的長直導(dǎo)軌和一段圓弧導(dǎo)軌平滑連接而成，導(dǎo)軌兩端均連接電阻，阻值R₁=R₂=2Ω，導(dǎo)軌間距L=0.6m．在右側(cè)導(dǎo)軌所在斜面的矩形區(qū)域M₁M₂P₂P₁內(nèi)分布有垂直斜面向上的磁場，磁場上下邊界M₁P₁、M₂P₂的距離d=0.2m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示．t=0時(shí)刻，在右側(cè)導(dǎo)軌斜面上與M₁P₁距離s=0.1m處，有一根阻值r=2Ω的金屬棒ab垂直于導(dǎo)軌由靜止釋放，恰好勻速通過整個(gè)磁場區(qū)域，取重力加速度g=10m/s²，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．求：
（1）ab在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度大小v；
（2）在t₁=0.1s時(shí)刻和t₂=0.25s時(shí)刻電阻R₁的電功率之比；
（3）電阻R₂產(chǎn)生的總熱量Q_總．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求解ab在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）分別計(jì)算出棒在t₁=0.1s時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)電路連接情況計(jì)算R₁兩端的電壓；然后再計(jì)算出棒在t₁=0.25s時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)電路連接情況計(jì)算R₁兩端的電壓，根據(jù)電功率的計(jì)算公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$計(jì)算t₁=0.1s時(shí)刻和t₂=0.25s時(shí)刻電阻R₁的電功率之比；
（3）根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件計(jì)算ab的質(zhì)量m，分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)焦耳定律計(jì)算出電阻R₂產(chǎn)生的總熱量．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理可得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gs•sinθ}$=1m/s；
（2）棒從釋放到運(yùn)動(dòng)至M₁P₁的時(shí)間t=$\frac{v}{gsinθ}$=0.2s，
在t₁=0.1s時(shí)，棒還沒有進(jìn)入磁場，有：E₁=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}Ld$=0.6V，
此時(shí)R₂與金屬棒并聯(lián)后再與R₁串聯(lián)，則R_總=$\frac{{R}_{2}r}{{R}_{2}+r}$+R₁=3Ω，
根據(jù)歐姆定律可得：U₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{總}}{R}_{1}$=0.4V，
由圖乙可知，t=0.2s后磁場保持不變，ab經(jīng)過磁場的時(shí)間t′=$\fracqcaemuy{v}$=0.2s，
故在t₂=0.25s時(shí)，ab還在磁場中運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)勢E₂=BLv=0.6V，
此時(shí)R₁和R₂并聯(lián)R_總=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}+r$=3Ω，
R₁路端電壓U′₁=$\frac{1}{2}×\frac{{E}_{2}}{{R}_{總}}×{R}_{1}=0.2V$，
根據(jù)電功率的計(jì)算公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，
在t₁=0.1s時(shí)刻和t₂=0.25s時(shí)刻電阻R₁的電功率之比：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{U}_{1}^{2}}{{U}_{2}^{2}}=4$：1；
（3）設(shè)ab的質(zhì)量為m，ab在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過ab的電流為：I=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{總}}$，
ab受到的安培力為：F_A=BIL，
又mgsinθ=BIL，
解得：m=0.024kg，
在t=0～0.2s時(shí)間內(nèi)，R₂兩端電壓U₂=0.2V，產(chǎn)生的熱量為：Q₁=$\frac{{U}_{2}^{2}}{{R}_{2}}t$=0.004J，
ab最終將在M₂P₂下方的軌道區(qū)域往返運(yùn)動(dòng)，到M₂P₂處的速度為零，根據(jù)功能關(guān)系可得，
在t=0.2s后整個(gè)電路最終產(chǎn)生的熱量為：Q=mgdsinθ+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.036J，
由電路關(guān)系可得R₂產(chǎn)生的熱量：Q₂=$\frac{1}{6}Q$=0.006J，
故R₂產(chǎn)生的總熱量Q_總=Q₁+Q₂=0.01J．
答：（1）ab在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度大小為1m/s；
（2）在t₁=0.1s時(shí)刻和t₂=0.25s時(shí)刻電阻R₁的電功率之比為4：1；
（3）電阻R₂產(chǎn)生的總熱量為0.01J．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．