Question

20．如圖所示，在水平光滑的xOy平面內(nèi)，存在一個(gè)豎直向下的穩(wěn)定磁場(chǎng)，已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B在y軸方向按B=B₀+ky規(guī)律逐漸增大，k為已知常量．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)正方形的閉合導(dǎo)線框，在水平平面內(nèi)線框以沿x軸正方向的初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到一個(gè)沿y軸正方向的水平恒力F作用，線框運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，已知閉合線框的邊長(zhǎng)為a，質(zhì)量為m，電阻為R，試求：
（1）線框運(yùn)動(dòng)足夠長(zhǎng)時(shí)間后速度的大�。�
（2）閉合線框的最大發(fā)熱功率．

Answer 1

分析 （1）線框運(yùn)動(dòng)過程中左右兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消，回路產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是上下兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之差，左右兩邊受到的安培力合力為零，線框在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，線框在豎直方向先做加速運(yùn)動(dòng)，足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框所受合力為零，在豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平衡條件求出豎直方向的速度，然后求出線框的速度．
（2）當(dāng)線框受到最大時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，線框發(fā)熱功率最大，應(yīng)用電功率公式可以求出最大發(fā)熱功率．

解答 解：（1）時(shí)間足夠長(zhǎng)后，線框在豎直方向上最勻速直線運(yùn)動(dòng)，
線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=E_上-E_下=B_上av_y-B_下av_y=（B₀+ky+ka）av_y-（B₀+ky）av_y=ka²v_y，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{k{a}^{2}{v}_{y}}{R}$，
安培力：F_安培=BIa=$\frac{Bk{a}^{3}{v}_{y}}{R}$，
方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
由平衡條件得：F+F_安培下=F_安培上，
F=F_安培上-F_安培下=$\frac{（{B}_{上}-{B}_{下}）k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{ka×k{a}^{3}{v}_{y}}{R}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{4}{v}_{y}}{R}$，
解得，豎直分速度：v_y=$\frac{FR}{{k}^{2}{a}^{4}}$，
線框的速度大小：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）線框的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：
E_最大=ka²v_y=$\frac{FR}{k{a}^{2}}$，
閉合線框的最大發(fā)熱功率：
P=$\frac{{E}_{最大}^{2}}{R}$=$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$；
答：（1）線框運(yùn)動(dòng)足夠長(zhǎng)時(shí)間后速度的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{F}^{2}{R}^{2}}{{k}^{4}{a}^{8}}}$；
（2）閉合線框的最大發(fā)熱功率為$\frac{{F}^{2}R}{{k}^{2}{a}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，線框四邊都切割磁感線，左右兩邊電動(dòng)勢(shì)抵消，所受的安培力也抵消，根據(jù)E=BLv分別得到上下兩邊的電動(dòng)勢(shì)，再求總電動(dòng)勢(shì)，應(yīng)用安培力公式、平衡條件與電功率公式可以解題．