Question

13．如圖甲所示，兩根足夠長的金屬導MN、PQ平行放置，且與水平方向成θ角，兩導軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab垂直放在兩導軌上，導軌和金屬桿接觸良好，整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．導軌和金屬桿的電阻、以及它們之間的摩擦可忽略，現(xiàn)讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑．
（1）由b向a方向看到的裝置如圖乙所示，請在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；
（2）求在加速下滑的過程中，當ab桿的速度大小為v時，ab桿中的電流及其加速度的大��；
（3）在下滑過程中，若ab桿下降高度為h時，速度恰好達到最大值．求速度最大值及桿下降h高度的過程中電阻R產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）對ab進行受力分析，然后作出受力示意圖；
（2）由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）ab桿勻速運動時速度最大，由平衡條件求出最大速度，然后又能量守恒定律求出電阻產生的熱量．

解答 解：（1）重力mg豎直向下，支持力N垂直斜面向上，安培力F沿斜面向上，如圖所示．  

（2）當ab桿速度為v時，感應電動勢：E=BLv，
此時電路中電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$          
ab桿受到安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$ 
根據(jù)牛頓運動定律，有：mgsinθ-F=ma  
解得：a=gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）當ab桿達到最大速度v_m時有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=mgsinθ   
解得：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
ab桿下滑過程由能量守恒得：mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q，
解得：Q=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖如圖所示；
（2）在加速下滑的過程中，當ab桿的速度大小為v時，ab桿中的電流為$\frac{BLv}{R}$，加速度的大小為：gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）在下滑過程中，若ab桿下降高度為h時，速度恰好達到最大值．速度最大值為=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，桿下降h高度的過程中電阻R產生的焦耳熱為mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題考查了作受力示意圖、求電流與加速度、求最大速度與焦耳熱，分析清楚運動過程、正確受力分析、應用E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件與能量守恒定律即可正確解題．