Question

4．如圖所示，在傾角為θ的斜面頂端A處以速度v₀水平拋出一小球，落在斜面上的某一點(diǎn)B處，設(shè)空氣阻力不計(jì)．求：
（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B所需要的時(shí)間落到B點(diǎn)的速度大小及A、B間的距離．
（2）從拋出開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球離斜面的距離達(dá)到最大？這個(gè)最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意知豎直位移與水平位移之比等于tanθ，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移關(guān)系列式求解即可時(shí)間，再由速度的合成求解B點(diǎn)的速度大�。�可進(jìn)一步求出A、B間的距離．
（2）將小球的運(yùn)動(dòng)沿著平行斜面和垂直斜面方向正交分解，垂直斜面方向做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)垂直斜面方向分速度為零時(shí)小球離斜面的距離達(dá)到最大；根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解．

解答 解：（1）設(shè)小球從A運(yùn)動(dòng)到B處所需的時(shí)間為t，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則：
水平位移為：x=v₀t
豎直位移為：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
根據(jù)題意和數(shù)學(xué)關(guān)系可知合位移與水平位移的夾角即為θ，則有：
 tan θ=$\frac{y}{x}$
聯(lián)立以上三式解得：t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$．
落到B點(diǎn)的速度大小 v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$=v₀$\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$
A、B間的距離 S=$\frac{{v}_{0}t}{cosθ}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$．
（2）當(dāng)小球垂直斜面向上的分速度為零時(shí)，離斜面的距離最大，此時(shí)小球的速度與斜面平行．
設(shè)小球從拋出開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)時(shí)間t₁小球離斜面的距離達(dá)到最大，如圖甲所示，則有：
  v_y=gt₁=v₀tan θ
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$
如圖乙所示，將小球的運(yùn)動(dòng)分解為沿斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向分運(yùn)動(dòng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，小球在y軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，初速度為 v_y0=v₀sinθ，加速度為：a_y=-gcosθ
小球離斜面的最大距離 h_max=$\frac{0-{v}_{y0}^{2}}{2{a}_{y}}$=$\frac{-（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2×（-gcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$
答：
（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B處所需的時(shí)間為$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$，落到B點(diǎn)的速度大小為v₀$\sqrt{1+4ta{n}^{2}θ}$，A、B間的距離為$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$．
（2）從拋出開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)$\frac{{v}_{0}tanθ}{g}$時(shí)間小球離斜面的距離達(dá)到最大，最大距離為$\frac{{v}_{0}^{2}si{n}^{2}θ}{2gcosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是采用正交分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)，正交分解的方向可以靈活選擇，同時(shí)要抓住兩個(gè)方向分位移的關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式處理．