Question

20．如圖所示，半徑為R、內(nèi)徑很小的光滑半圓管置于豎直平面內(nèi)，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，以不同的初速度進(jìn)入管內(nèi)，A通過最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁下部的壓力為0.75mg，求A、B兩球落地點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出A球在最高點(diǎn)速度．
B球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出B球在最高點(diǎn)速度．
兩球從最高點(diǎn)飛出后均做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度2R求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由速度和初速度求解水平位移，A、B兩球落地點(diǎn)間的距離等于位移之差．

解答 解：以A球?yàn)閷?duì)象，設(shè)其到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v_a，根據(jù)向心力公式有：
mg+F_a=m$\frac{{{v}_{a}}^{2}}{R}$
F_a=3mg
代入解得：v_a=2$\sqrt{gR}$
以B球?yàn)閷?duì)象，設(shè)其到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v_b，根據(jù)向心力公式有：
mg-F_b=m$\frac{{{v}_}^{2}}{R}$
又F_b=0.75mg
即：$\frac{1}{4}$mg=m$\frac{{{v}_}^{2}}{R}$
所以：v_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
A、B兩球脫離軌道的最高點(diǎn)后均做平拋運(yùn)動(dòng)，所以A、B兩球的水平位移分別為：
s_a=v_at=2$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_b=v_bt=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
故A、B兩球落地點(diǎn)間的距離為：△s=s_a-s_b=4R-R=3R．
答：A、B兩球落地點(diǎn)間的距離是3R．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力知識(shí)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，常規(guī)題，關(guān)鍵是明確運(yùn)動(dòng)形式后選擇相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．