Question

14．如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球（可看做質(zhì)點）從y軸上的A點以初速度v₀水平拋出，兩長為L的平行金屬板M、N傾斜放置且與水平方向間的夾角為θ=37°．（sin 37°=0.6）
（1）若帶電小球恰好能垂直于M板從其中心小孔B進入兩板間，試求帶電小球在y軸上的拋出點A的坐標及小球拋出時的初速度v₀；
（2）若該平行金屬板M、N間有如圖所示的勻強電場，且勻強電場的電場強度大小與小球質(zhì)量之間的關(guān)系滿足E=$\frac{4mg}{5q}$，試計算兩平行金屬板M、N之間的垂直距離d至少為多少時才能保證小球不打在N板上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結(jié)合進入兩板間的速度方向，通過運動學公式求出初速度的大小以及豎直位移，從而得出A點的坐標．
（2）根據(jù)動能定理求出小球進入電場時的速度，結(jié)合小球的受力分析出合力方向與電場方向垂直，通過類平拋運動的規(guī)律求出平行金屬板M、N之間的垂直距離的最小值．

解答 解：（1）設(shè)小球由y軸上的A點運動到金屬板M的中點B的時間為t，由題意，在與x軸平行的方向上，有：
$\frac{L}{2}$cos θ=v₀t
tan θ=$\frac{{v}_{0}}{gt}$
帶電小球在豎直方向上下落的距離為：h=$\frac{1}{2}$gt²
所以小球拋出點A的縱坐標為：y=h+$\frac{L}{2}$sin θ，
以上各式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)可解得：v₀=$\sqrt{\frac{3gL}{10}}$，y=$\frac{17}{30}$L，
t=2$\sqrt{\frac{2L}{15g}}$，h=$\frac{4L}{15}$．
所以小球拋出點A的坐標為（0，$\frac{17}{30}$L）
小球拋出時的初速度大小為：v₀=$\sqrt{\frac{3gL}{10}}$．
（2）設(shè)小球進入電場時的速度大小為v，則由動能定理可得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v=$\sqrt{\frac{5gL}{6}}$．
帶電小球進入勻強電場后的受力情況如圖所示．
因為E=$\frac{4mg}{5q}$，所以qE=mgcos θ，
因此，帶電小球進入該勻強電場之后，將做類平拋運動．其加速度大小為：a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsin θ，
設(shè)帶電小球在該勻強電場中運動的時間為t′，欲使小球不打在N板上，由類平拋運動的規(guī)律可得：d=vt′，
$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at′²
以上各式聯(lián)立求解并代入數(shù)據(jù)可得：d=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$L．
答：（1）帶電小球在y軸上的拋出點A的坐標及小球拋出時的初速度為$\sqrt{\frac{3gL}{10}}$；
（2）兩平行金屬板M、N之間的垂直距離d至少為$\frac{5\sqrt{2}}{6}$L時才能保證小球不打在N板上．

點評 本題考查了帶電小球在復(fù)合場中的運動，掌握處理平拋運動或類平拋運動的方法，結(jié)合牛頓第二定律、動能定理和運動學公式綜合求解，本題有一定的難度．