Question

8．中國(guó)著名物理學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士何澤慧教授曾在1945年首次通過實(shí)驗(yàn)觀察到正、負(fù)電子的彈性碰撞過程．有人設(shè)想利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制正、負(fù)電子在云室中運(yùn)動(dòng)來再現(xiàn)這一過程．實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理如下：在如圖所示的xOy平面內(nèi)，A、C二小孔距原點(diǎn)的距離均為L(zhǎng)，每隔一定的時(shí)間源源不斷地分別從A孔射入正電子，C孔射入負(fù)電子，初速度均為v₀，且垂直x軸，正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，電荷量均為e（忽略電子之間的相互作用）．在y軸的左側(cè)區(qū)域加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y軸的右側(cè)區(qū)域加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），要使正、負(fù)電子在y軸上的P（0，L）處相碰．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小及方向；
（2）P點(diǎn)相碰的正、負(fù)電子的動(dòng)能之比和射入小孔的時(shí)間差△t；
（3）若某一從A點(diǎn)射入的正電子到達(dá)P點(diǎn)沒能與負(fù)電子相碰，則在以后的運(yùn)動(dòng)中能否在第一象限內(nèi)與C點(diǎn)射入的電子相碰？請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由．

Answer 1

分析 （1）正電子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和位移時(shí)間公式結(jié)合，即可求解電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小．負(fù)電子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題可知軌跡半徑等于L，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求解B的大小，由左手定則判斷B的方向．
（2）正電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)其做正功，由動(dòng)能定理求出相碰前正電子的動(dòng)能，由其豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求解其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，而負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力不做功，動(dòng)能不變，根據(jù)時(shí)間為$\frac{1}{4}$周期，從而可求出時(shí)間差．
（3）根據(jù)正電子在y軸右側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑與負(fù)電子的軌跡半徑比較，可作出判斷．

解答 解：（1）對(duì)A處進(jìn)入的正電子，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
L=v₀t_A
L=$\frac{1}{2}$at_A²=$\frac{Ee}{2m}$t_A²．
得：E=$\frac{2{mv}_{0}^{2}}{eL}$．
對(duì)C處進(jìn)入的負(fù)電子，由牛頓第二定律得：
ev₀B=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
可得 B=$\frac{m{v}_{0}}{eL}$
負(fù)電子在C點(diǎn)所受的洛倫茲力向左，由左手定則判斷可知磁場(chǎng)B的方向垂直紙面向外． 
（2）對(duì)A處進(jìn)入的正電子，由動(dòng)能定理得：
EeL=E_kA-$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2}$
所以 E_kA=$\frac{5{mv}_{0}^{2}}{\;}2$
而 E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
故 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{kB}}=\frac{5}{1}$
從C進(jìn)入的負(fù)電子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t_B=$\frac{90°}{360°}×\frac{2πL}{{v}_{0}}$=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
正電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t_A=$\frac{L}{{v}_{0}}$
則△t=t_B-t_A=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$-$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$
（3）不能相碰．原因是：帶電粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑與速度成正比，則知從A經(jīng)過P點(diǎn)的正電子在y軸右側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑大于L不能與C點(diǎn)射入的電子軌跡相交．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{2{mv}_{0}^{2}}{eL}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{eL}$，方向垂直紙面向外；
（2）P點(diǎn)相碰的正、負(fù)電子的動(dòng)能之比是5：1，射入小孔的時(shí)間差△t是$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$；
（3）在以后的運(yùn)動(dòng)中不能在第一象限內(nèi)與C點(diǎn)射入的電子不能相碰．原因是：帶電粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑與速度成正比，則知從A經(jīng)過P點(diǎn)的正電子在y軸右側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑大于L不能與C點(diǎn)射入的電子軌跡相交．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)與磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)研究方法的不同，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法處理．