Question

5．如圖所示，圓心為原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，即圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ和圓外區(qū)域Ⅱ．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．平行于x軸的熒光屏垂直于xOy平面，放置在直線y=-$\sqrt{3}$R的位置．一束質(zhì)量為m、電荷量為q、動(dòng)能為E₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（-R，0）的A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，當(dāng)區(qū)域Ⅱ內(nèi)無磁場(chǎng)時(shí)，粒子全部垂直打在熒光屏上坐標(biāo)為（R，-$\sqrt{3}$R）的M點(diǎn)．若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加上方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，上述粒子仍從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，則粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（2R，-$\sqrt{3}$R）的N點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用．
（1）求打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小；
（2）求區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向；
（3）在（2）的情況下，若沒有熒光屏，則粒子是否能回到A點(diǎn)？若能回到A點(diǎn)，求出粒子從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間回到A點(diǎn)；若不能回到A點(diǎn)，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中洛倫茲力不做功，粒子的動(dòng)能不變，根據(jù)動(dòng)能的大小求出粒子的速度大�。�
（2）抓住粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0，-2.2R）的M點(diǎn)，根據(jù)熒光屏沿y軸負(fù)方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變，得出粒子在磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ中的軌跡，結(jié)合半徑公式求出磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，根據(jù)偏轉(zhuǎn)方向確定磁場(chǎng)的方向；根據(jù)粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）的 N點(diǎn)，作出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系和對(duì)稱性分析粒子能否A點(diǎn)．根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求出粒子兩個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得到粒子回到A點(diǎn)的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力不做功，打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子動(dòng)能均為E₀，速度v₁、v₂大小相等，均設(shè)為v，則由E₀=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
即v₁=v₂=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）如圖所示，區(qū)域Ⅱ中無磁場(chǎng)時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)后打在M點(diǎn)，軌跡圓心是O₁點(diǎn)，根據(jù)幾何知識(shí)，可知OM與y軸負(fù)方向的夾角為30°，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=$\sqrt{3}$R
區(qū)域Ⅱ有磁場(chǎng)時(shí)，粒子軌跡圓心是O₂點(diǎn)，半徑為r₂，解得：r₂=$\sqrt{3}$R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：B₁=B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{\sqrt{3}qR}$，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，O₂點(diǎn)在x軸上，根據(jù)對(duì)稱性可知，粒子能回到A點(diǎn)
粒子在區(qū)域Ⅱ運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{5}{6}$T
粒子在區(qū)域Ⅰ運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{1}{3}$T
則粒子回到A點(diǎn)的時(shí)間為 t=$\frac{5}{6}$T+$\frac{1}{3}$T=$\frac{7}{6}$T=$\frac{7πm}{3Bq}$=$\frac{7πR}{6}$$\sqrt{\frac{6m}{{E}_{0}}}$
答：
（1）打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小均為$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小均為$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{\sqrt{3}qR}$，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．
（3）粒子能回到A點(diǎn)，粒子回到A點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{7πR}{6}$$\sqrt{\frac{6m}{{E}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心、半徑和圓心角是基礎(chǔ)，通過半徑公式和周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．