Question

14．宇航員乘坐宇宙飛船登上某星球，在該星球“北極”距星球表面附近h處自由釋放一個(gè)小球，測(cè)得落地時(shí)間為t，已知該星球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．下列說法正確的是（　�。�

• A． 該星球的平均密度為$\frac{3h}{{2πRG{t^2}}}$
• B． 該星球的第一宇宙速度為$\frac{2πR}{T}$
• C． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• D． 如果該星球存在一顆同步衛(wèi)星，其距星球表面高度為$\root{3}{{\frac{{h{T^2}{R^2}}}{{2{π^2}{t^2}}}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力討論即可．

解答 解：根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求得星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，
A、由G $\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，有：M=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$，所以星球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$，故A正確；
B、星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}R}$，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：G $\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，垃圾的運(yùn)行周期：T=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，可知軌道半徑越小周期越小，衛(wèi)星的最小半徑為R，則周期最小Tmin=2π $\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$=$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，所以宇宙飛船繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不小于$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故C錯(cuò)誤；
D、同步衛(wèi)星的周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同故有：G $\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}$=m $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，代入數(shù)據(jù)解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}}$-R，故D錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是通過自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬有引力等于重力求解．