Question

2．如圖所示，OM的左側(cè)存在范圍足夠大、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，ON（在紙面內(nèi)）與磁場(chǎng)方向垂直且∠NOM=60°，ON上有一點(diǎn)P，OP=L．P點(diǎn)有一粒子源，可沿紙面內(nèi)各個(gè)方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），速率為$\frac{{\sqrt{6}qBL}}{4m}$，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為（　　）

• A． $\frac{117πm}{180qB}$
• B． $\frac{πm}{3qB}$
• C． $\frac{πm}{4qB}$
• D． $\frac{πm}{6qB}$

Answer 1

分析 由題設(shè)件求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合左手定則粒子做逆時(shí)針方向勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若粒子能越過(guò)OM直線，則帶電粒子能做完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則時(shí)間為T，由此可知只有沿PO方向入射的粒子時(shí)間最短，畫出粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)最短時(shí)間的軌跡，由幾何關(guān)系求出此種情況下粒子的偏轉(zhuǎn)角，從而求出了最短時(shí)間．

解答 解：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)則有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
而將題設(shè)的v值代入得：r=$\frac{\sqrt{6}}{4}L$，
結(jié)合左手定則，則粒子在磁場(chǎng)中最短的時(shí)間的軌跡為沿水平方向PO入射的粒子，其部分軌跡如圖所示，其中A為圓心，延長(zhǎng)PA交OM于Q點(diǎn)，作AC⊥OQ于C，由幾何關(guān)系知：
AQ=PQ-PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$-$\frac{\sqrt{6}}{4}L$，
AC=$\frac{AQ}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{8}L$，
所以∠CAB=arccos$\frac{AC}{AB}$=arccos$\frac{\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{8}L}{\frac{\sqrt{6}}{4}L}$=arccos$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≈33°，
則粒子偏轉(zhuǎn)的角度為：θ=180°-30°-33°=117°，
則粒子最短時(shí)間為：t=$\frac{117°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{117πm}{180qB}$，
所以選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 畫出最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間的軌跡交OM于B，作ON的垂線交OM于Q，作AC⊥OM于C，連接AB，求出AQ的長(zhǎng)，則AC是AQ的一半，由三角函數(shù)求出∠CAB，于是偏向角∠PAB就能求出．本題涉及到三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)定理等，先作出輔助線，再來(lái)求偏向角，但要注意的是先要分析出最短時(shí)間的那種情況．