Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點為水平面與軌道的切點，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點：

（1）求推力對小球所做的功。

（2）x取何值時，完成上述運動推力所做的功最少？最小功為多少。

（3）x取何值時，完成上述運動推力最小？最小推力為多少？

Answer 1

（1）（2）2R；mgR（3）4R；mg

（1）質(zhì)點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設(shè)質(zhì)點在C點的速度為vC，質(zhì)點從C點運動到A點所用的時間為t，

在水平方向：  x=vCt            豎直方向上：2R=gt2

解得  

對質(zhì)點從A到C由動能定理有   WF-mg·2R=

解得：

（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由WF=2mgR+mv知，只要質(zhì)點在C點速度最小，則功WF就最小。若質(zhì)點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，由牛頓第二定律有,則v=

有，解得：x=2R

當(dāng)x=2R時， WF最小，最小的功：WF=mgR

（3）由式WF=mg() 及WF=F x 得： )

F有最小值的條件是：即x=4R

得最小推力為：F=mg