Question

8．如圖甲所示，平行板電容器水平放置，電容器極板間接入如圖乙的交變電壓，圖中U₀=10V，T₀=1.0×10^-3s，電容器右側(cè)為垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.01T，磁場(chǎng)的左邊界為豎直線MN，一束比荷為10⁵C/kg的正粒子以相同的速度v₀=10³m/s沿電容器中線OO′源源不斷地射入兩板間，已知電容器極板長(zhǎng)度L=2m，整個(gè)裝置處于真空中，不計(jì)離子重力及粒子間作用力．

（1）對(duì)所有入射的粒子，只有在某些特定時(shí)刻射入電場(chǎng)的離子才能垂直MN進(jìn)入磁場(chǎng)，請(qǐng)求出這些特定時(shí)刻
（2）要使每一個(gè)入射粒子都能從電場(chǎng)中射出，求兩極板間的距離d的取值范圍．
（3）對(duì)于所有經(jīng)過(guò)電場(chǎng)射入磁場(chǎng)的帶電粒子，設(shè)其射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)和從磁場(chǎng)射出的出射點(diǎn)間的距離為x，請(qǐng)判斷x的大小是否隨時(shí)間變化？如果不變，求出x的值，如果變化，求出x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于極板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由L=vt求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后結(jié)合電場(chǎng)的周期性分析即可；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，要使每一個(gè)入射粒子都能從電場(chǎng)中射出，要使每一個(gè)入射粒子都能從電場(chǎng)中射出；
（3）求出進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的速度的大小與方向，由洛倫茲力提供向心力求出各粒子的半徑，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌跡中的幾何關(guān)系即可求出x隨時(shí)間的變化關(guān)系．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于極板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由L=vt₁得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{2}{1{0}^{3}}=2×1{0}^{-3}$s
可知t₁=2T
所以帶電粒子在電場(chǎng)中沿電場(chǎng)的方向向上的加速時(shí)間與向上的減速時(shí)間是相等的，或者說(shuō)，向下加速的時(shí)間與向下減速的時(shí)間是相等的，所以所有的粒子都可以垂直于MN進(jìn)入磁場(chǎng)．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在t=0，T，2T…時(shí)刻進(jìn)入的粒子向上加速0.5T，然后減速0.5T，此時(shí)沿電場(chǎng)線方向的分速度為0，；然后再加速0.5T，減速0.5T，在沿電場(chǎng)線的方向做單向的運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)線方向的位移最大；同理，在t=0.5，1.5T，2.5T…時(shí)刻進(jìn)入的粒子向下的位移最大；
以t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子為例，則前半個(gè)周期：$a=\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}=1{0}^{5}×\frac{10}6xkmtlt$，位移：
$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a•（\frac{1}{2}T）^{2}=\frac{1}{8}•\frac{1{0}^{6}}8probdz×0.25×1{0}^{6}=\frac{1}{32d}$
由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子在0.5T-T時(shí)間內(nèi)，沿電場(chǎng)線方向的位移與前半個(gè)周期內(nèi)的位移大小相等，所以在粒子穿過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中的總位移：
${s}_{總}(cāng)=4s=4×\frac{1}{32d}=\frac{1}{8d}$
則電場(chǎng)的寬度：$d=2{s}_{總}(cāng)=\frac{1}{4d}$
所以：d=0.5m
要使每一個(gè)入射粒子都能從電場(chǎng)中射出，兩極板間的距離d至少是0.5m
（3）由（1）的分析可知，所有的粒子出電場(chǎng)的速度方向都垂直于MN，大小是相等的，x的大小不隨時(shí)間變化．
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，粒子將運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓后向左射出磁場(chǎng)，所以：x=2r
由于洛倫茲力提供向心力，得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{m{v}_{0}}{qB}=\frac{1}{1{0}^{5}}×\frac{1{0}^{3}}{0.01}=1$m
得：x=2r=2m
答：（1）對(duì)所有入射的粒子，都能垂直MN進(jìn)入磁場(chǎng)；
（2）要使每一個(gè)入射粒子都能從電場(chǎng)中射出，兩極板間的距離d至少是0.5m．
（3）對(duì)于所有經(jīng)過(guò)電場(chǎng)射入磁場(chǎng)的帶電粒子，設(shè)其射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)和從磁場(chǎng)射出的出射點(diǎn)間的距離為2m．

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)注意題意中給出的條件，在粒子穿出電場(chǎng)的過(guò)程中，隨電壓的周期性的變化，沿電場(chǎng)線方向的運(yùn)動(dòng)也有周期性；同時(shí)要注意帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)類題目一定要找清幾何關(guān)系．