Question

16．2016年2月11日，美國科學(xué)家宣布探測到引力波，證實了愛因斯坦100年前的預(yù)言，彌補了愛因斯坦廣義相對論中最后一塊缺失的“拼圖”，其實，孤立的恒星與一顆行星組成的系統(tǒng)就是一個雙星系統(tǒng)．如圖所示，恒星a、恒星b在萬有引力作用下，繞連線上一點O以相同的周期做勻速圓周運動，現(xiàn)測得行星b圓周運動的半徑為r_b，運動周期為T，a、b的距離為l，已知萬有引力常量為G，則（　�。�

• A． 恒星a的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{r}_}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 恒星a與行星b的總質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 恒星a與行星b的質(zhì)量之比為$\frac{l-{r}_}{{r}_}$
• D． 恒星a的運動可以等效于靜止在O點，質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{r}_}^{3}}{G{T}^{2}}$的天體做半徑為（l-r_b）的圓周運動

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運動的半徑不相等．

解答 解：ABC、由題意可知，a和b到O點的距離分別為$（l-{r}_^{\;}）$和${r}_^{\;}$，設(shè)兩星質(zhì)量分別為${M}_{1}^{\;}$和${M}_{2}^{\;}$，由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得：
對${M}_{1}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{1}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）$，即：${M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）}{G{T}_{\;}^{2}}$
對${M}_{2}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{2}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}{r}_^{\;}$，即：${M}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{r}_^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}$
兩式相加得${M}_{1}^{\;}+{M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_^{\;}+{r}_^{\;}）$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
恒星a與b的質(zhì)量之比為$\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_^{\;}}{l-{r}_^{\;}}$，故AC錯誤，B正確；
D、將該系統(tǒng)等效成中心天體和環(huán)繞天體，再根據(jù)${F}_{引}^{\;}$=${F}_{向}^{\;}$，即$G\frac{Mm}{（l-{r}_^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_^{\;}）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D錯誤；
故選：B

點評 本題考查萬有引力中的雙星模型以及萬有引力公式中各物理量得物理意義．學(xué)生對萬有引力公式和向心力公式中R的物理意義分不清，找不到雙星模型的特點，找不到它們之間相等的物理量．