Question

6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)以水平速度v₀向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入電場和磁場后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開電場和磁場．已知小球過M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的方向成夾角θ，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）電場強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）x軸上點(diǎn)M、N之間的距離L；
（3）x軸上點(diǎn)O、M之間的距離S．

Answer 1

分析 （1）小球從A到M做平拋運(yùn)動(dòng)，從M到N做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，從而確定電場大小與方向；
（2）由幾何知識求得半徑，進(jìn)而求出速度，并根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合牛頓第二定律，即可求解；
（3）將運(yùn)動(dòng)分解成豎直方向與水平方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
則電場力和重力平衡，有：qE=mg①
$E=\frac{mg}{q}$②
重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強(qiáng)度方向豎直向上．
（2）設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，由速度的合成與分解知$\frac{v_0}{v}=cosθ$③
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供．有$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$④
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的O′為圓心，L為弦長，∠MO'P=θ，如圖所示．

設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知      $\frac{L}{2r}=sinθ$⑤
由③④⑤式得 L=$\frac{2m{v}_{0}^{2}tanθ}{qB}$              ⑥
（3）設(shè)小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，到M點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v_y，
它與水平分速度的關(guān)系為v_y=v₀tanθ⑦
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
t=$\frac{{v}_{y}}{g}$        ⑧
S=v₀t        ⑨
由⑦⑧⑨式得 S=$\frac{{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$；
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小$\frac{mg}{q}$和方向豎直向上；
（2）x軸上點(diǎn)M、N之間的距離$\frac{2m{v}_{0}^{2}tanθ}{qB}$；
（3）x軸上點(diǎn)O、M之間的距離$\frac{{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$．

點(diǎn)評 本題屬于帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)問題，磁場中圓周運(yùn)動(dòng)處理的基本方法是畫軌跡，重力場中也可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，同時(shí)掌握幾何關(guān)系在本題的正確運(yùn)用．