Question

11．如圖所示，在直角坐標(biāo)系O-xyz中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{h}}$方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，在（0，0，h）處固定一電量為+q（q＞0）的點(diǎn)電荷，在xOy平面內(nèi)有一質(zhì)量為m（m未知），電量為-q的微粒繞原點(diǎn)O沿圖示方向作勻速圓周運(yùn)動．若微粒的圓周運(yùn)動可以等效為環(huán)形電流，求：
（1）若已知+q與-q的連線與z軸的夾角θ和靜電力常量k，則此微粒所受的庫侖力多大；
（2）此微粒作勻速圓周運(yùn)動的角速度ω；
（3）等效環(huán)形電流的電流強(qiáng)度I（已知重力加速度為g）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)知識得到+q與-q間的距離，再由庫侖定律求此微粒所受的庫侖力．
（2）對微粒正確受力分析，在豎直方向應(yīng)用平衡條件、在水平面內(nèi)應(yīng)用牛頓第二定律求出微粒做勻速圓周運(yùn)動的角速度．
（3）求出微粒做圓周運(yùn)動的周期，最后根據(jù)電流的定義求出等效電流強(qiáng)度I．

解答 解：（1）此微粒所受的庫侖力為 F_E=k$\frac{{q}^{2}}{{R}^{2}}$
由幾何知識得 R=$\frac{h}{cosθ}$
則得 F_E=$\frac{k{q}^{2}co{s}^{2}θ}{{h}^{2}}$
（2）微粒受力如圖所示．洛倫茲力為：F_B=qvB，
微粒的線速度：v=ωr，
由幾何知識得：r=htanθ
微粒在z軸方向受力平衡，則有：F_Ecosθ-mg=0，
微粒在xoy平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
  F_Esinθ-F_B=mω²r，
解得：ω²+2$\sqrt{\frac{g}{h}}$ω-$\frac{g}{h}$=0，
解得：ω=（$\sqrt{2}$-1）$\sqrt{\frac{g}{h}}$[ω=-（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frac{g}{h}}$不合題意，舍去]．
（3）微粒做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2π}{ω}$
等效電流：I=$\frac{q}{T}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）q}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$；
答：
（1）此微粒所受的庫侖力為$\frac{k{q}^{2}co{s}^{2}θ}{{h}^{2}}$．
（2）此微粒作勻速圓周運(yùn)動的角速度ω為（$\sqrt{2}$-1）$\sqrt{\frac{g}{h}}$．
（3）等效環(huán)形電流強(qiáng)度I為$\frac{（\sqrt{2}-1）q}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電微粒在電場、磁場與重力場中的運(yùn)動，關(guān)鍵要明確微粒在z軸方向受力平衡，在xoy面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，再應(yīng)用平衡條件與牛頓第二定律、電流定義式可以解題．