Question

10．如圖所示，AB為一段彎曲軌道，固定在水平桌面上，與水平桌面相切于A點(diǎn)，B點(diǎn)距桌面的高度為h=0.6m，A、B兩點(diǎn)間的水平距離為L(zhǎng)=0.8m，軌道邊緣B處有一輕、小定滑輪，一根輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m₁與m₂的物體P、Q，掛在定滑輪兩邊，P、Q可視為質(zhì)點(diǎn)，且m₁=2.0kg，m₂=0.4kg．開(kāi)始時(shí)P、Q均靜止，P緊靠B點(diǎn)，P釋放后沿彎曲軌道向下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷開(kāi)，斷開(kāi)后P沿水平桌面滑行距離x=1.25m停止．已知P與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，g取10m/s²．求：
（1）P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）P從B到A的過(guò)程中Q重力勢(shì)能的增量；
（3）彎曲軌道對(duì)P的摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）物體P在水平面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）由幾何知識(shí)求出Q上升的高度H，則Q重力勢(shì)能的增量△E_P=mgH．
（3）由幾何關(guān)系求出將P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)AP段繩與水平方向的夾角，將此時(shí)P的速度進(jìn)行分解得到Q點(diǎn)的速度，再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理求摩擦力做功．

解答 解：（1）P在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μm₁gx=0-$\frac{1}{2}$m₁${v}_{1}^{2}$
得P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度為：
v₁=$\sqrt{2μgs}$=$\sqrt{2×0.25×10×1.25}$m/s=2.5m/s
（2）P由B到A的過(guò)程中，Q上升的高度為：
H=$\sqrt{{h}^{2}+{L}^{2}}$=1m
則P從B到A的過(guò)程中Q重力勢(shì)能的增量為：
△E_P=mgH=4J
（3）設(shè)P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，P過(guò)A點(diǎn)的速度與水平方向的夾角β，Q的運(yùn)動(dòng)速度為v₂，將速度P的速度v₁進(jìn)行分解如圖．
則有v₂=v₁cosβ
又sinβ=$\frac{h}{H}$=0.6，得β=37°
對(duì)P、Q組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
m₁gh-m₂gH+W_f=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得彎曲軌道對(duì)P的摩擦力做的功為：W_f=-0.95J．
答：（1）P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小是2.5m/s；
（2）P從B到A的過(guò)程中Q重力勢(shì)能的增量為4J；
（3）彎曲軌道對(duì)P的摩擦力做的功是-0.95J．

點(diǎn)評(píng) 本題是繩系的系統(tǒng)問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理和幾何知識(shí)、速度分解進(jìn)行分析求解，其中速度的分解，是繩端物體速度分解類型，要學(xué)會(huì)如何分解．