Question

7．如圖所示，在一絕緣的水平面上，靜止放置一質量為3m的物塊B，在其左側相距為L處放置一質量為m的光滑小球A，球A帶正電、電荷量為q，物塊B不帶電．在整個水平面上加上一方向水平向右的勻強電場，電場強度為E．球A在電場力作用下從靜止開始向右運動，接著與物塊B發(fā)生第一次正碰．一段時間后A、B又發(fā)生第二次正碰．如此重復．已知球A與物塊B每次發(fā)生碰撞的時間都極短且系統(tǒng)的機械能都沒有損失，碰撞過程無電荷轉移，且第二次碰撞發(fā)生在物塊B的速度剛好減為零的瞬間．求：
（1）A、B發(fā)生第一次碰撞后瞬間的速度．
（2）從一開始到A、B發(fā)生第n次碰撞時，球A在水平面上的總位移．

Answer 1

分析 （1）對于兩球第一次碰撞前A的運動過程，運用動能定理列式，可求得A球第一次碰撞前瞬間的速度．對于碰撞過程，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列式，求出A、B發(fā)生第一次碰撞后瞬間的速度．
（2）A、B發(fā)生第二次正碰時A、B的位移相等，由平均速度乘以時間表示位移列式，并對A由動能定理列式，聯(lián)立求得第二次碰前A的速度和A在水平面發(fā)生的位移，抓住規(guī)律求總位移．

解答 解：（1）A球運動至第一次碰前速度為v₀，由動能定理得
   qEL=$\frac{1}{2}$mv₀²-0                     ①
A、B發(fā)生彈性正碰，取水平向右為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律有
  mv₀=mv_A+3mv_B            ②
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$×3mv_B²          ③
解得第一次碰撞后瞬間A、B的速度分別為：
   v_A=-$\frac{{v}_{0}}{2}$=-$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$（方向水平向左）④
   v_B=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$（方向水平向右）  ⑤
（2）碰后經時間t時A、B發(fā)生第二次正碰，則A、B的位移相等，設為x，取水平向右為正方向，對B，有
   x=$\frac{{v}_{B}+0}{2}t$                    ⑥
對A，有
   x=$\frac{{v}_{A}+{v}_{A2}}{2}t$                  ⑦
  qEx=$\frac{1}{2}$mv_A2²-$\frac{1}{2}$mv_A²             ⑧
解得第二次碰前A的速度為 v_A2=v₀                      ⑨
  x=$\frac{3}{4}$L                         ⑩
因為第二次碰前兩物體的速度與第一次碰前完全相同，因此以后相鄰兩次碰撞之間兩物體的運動情況也完全相同．
第n次碰撞時，球A在水平面上的總位移
  s=L+（n-1）$•\frac{3}{4}$L=$\frac{3n+1}{4}$L（11）
答：（1）A、B發(fā)生第一次碰撞后瞬間A的速度為$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，方向水平向左．B的速度為$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，方向水平向右．
（2）從一開始到A、B發(fā)生第n次碰撞時，球A在水平面上的總位移是$\frac{3n+1}{4}$L．

點評 解決本題的關鍵是要分析清楚物體的運動過程與運動性質，抓住過程的重復性，注意數(shù)學歸納法的應用．