Question

如圖所示，真空中xOy光滑絕緣水平面內(nèi)，在坐標(biāo)點(diǎn)M（L，0）固定一個(gè)點(diǎn)電荷-Q，坐標(biāo)點(diǎn)N（4L，0）固定一個(gè)點(diǎn)電荷+2Q，以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為2L的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A、B、C、D．已知若取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則離點(diǎn)電荷Q距離為r處的電勢(shì)為φ=k

Q

r

（1）猜測(cè)圓上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向的特征，并加以證明
（2）用長(zhǎng)為2L的絕緣細(xì)線系一質(zhì)量為m、電量為+q帶電球，另外一端系在O點(diǎn)，要使小球能在細(xì)線拉力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，求其在D點(diǎn)的最小速度．

Answer 1

分析：（1）可猜測(cè)圓上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向指向圓心，只要證明圓O是一個(gè)等勢(shì)面，即可得證．可在圓上取任意一點(diǎn)P（2Lcosθ，2Lsinθ），根據(jù)題中信息φ=k

Q

r

，求出兩個(gè)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)φ_PM和φ_PN，再得到P點(diǎn)電勢(shì)和為φ_P=φ_PM+φ_PN，即可證明猜測(cè)是否正確．
（2）球在水平面和等勢(shì)面上運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力均不做功，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由繩子拉力和電場(chǎng)力的合力提供．圓周上B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大，D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最小，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)繩的拉力F最小，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解．

解答：解：（1）圓上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向指向圓心． 
證明：如圖在圓上任意一點(diǎn)P（2Lcosθ，2Lsinθ）
依照題意，點(diǎn)電荷M在P點(diǎn)的電勢(shì)為：?PM=-k

Q

MP

點(diǎn)電荷N在P點(diǎn)的電勢(shì)為：?PN=k

2Q

PN

根據(jù)兩點(diǎn)距離公式：MP=

(2Lcosθ-L)2+(2Lsinθ-0)2

NP=

(2Lcosθ-4L)2+(2Lsinθ-0)2

則P點(diǎn)電勢(shì)和為：φ_P=φ_PM+φ_PN
解得：φ_P=0
即圓上各點(diǎn)電勢(shì)相同，且為零．根據(jù)電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，可知圓上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向直線圓心O．
（2）小球在水平面和等勢(shì)面上運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力均不做功，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由繩子拉力和電場(chǎng)力的合力提供．圓周上B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大，D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最小，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)繩的拉力F最小，
當(dāng)F=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的速度v_B即為小球能做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度．
小球在B點(diǎn)時(shí)，若繩子拉力為零，則小球向心力最小，出現(xiàn)最小速度v．
B處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：E=k

Q

MB2

+k

2Q

NB2

=k

Q

L2

+k

2Q

4L2

=k

3Q

2L2

由向心力公式：Eq=m

v

2

解得：v_D=

2EqL m

=

6kqQ mL

答：（1）圓上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向指向圓心． 證明見(jiàn)上．
（2）其在D點(diǎn)的最小速度為

6kqQ mL

．

點(diǎn)評(píng)：本題是信息給予題，要以電場(chǎng)強(qiáng)度方向與等勢(shì)面垂直的特點(diǎn)為證明的突破口，來(lái)證明自己的猜測(cè)．