10.如圖所示,在xOy平面坐標(biāo)系中,直線MN與y軸成30°角,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,a),在y軸與直線MN之間的區(qū)域內(nèi),存在垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.電子束以相同速度v0從y軸上-$\frac{2}{3}$a≤y≤0的區(qū)間垂直于y軸和磁場射入磁場.已知從O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡恰好與直線MN相切,忽略電子間的相互作用和電子的重力.
(1)求電子的比荷;
(2)若在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限加上沿y軸正方向、大小為E=Bv0的勻強(qiáng)電場,在x0=$\frac{4}{3}$a處垂直于x軸放置一熒光屏,計(jì)算說明熒光屏上發(fā)光區(qū)的形狀和范圍.

分析 (1)先畫出O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡,結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑,然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解比荷;
(2)從(0,-$\frac{4}{3}a$)位置進(jìn)入磁場的電子恰好由O點(diǎn)過y軸,不受電場力,沿x軸正方向做直線運(yùn)動;從O點(diǎn)射入磁場的電子(0,$\frac{2}{3}a$)的位置進(jìn)入勻強(qiáng)電場,電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動,離開電場后做勻速直線運(yùn)動,根據(jù)類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解.

解答 解:(1)從O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系有:

$r+\frac{r}{sin30°}=a$ ①
解得:
$r=\frac{a}{3}$ ②
電子在磁場中運(yùn)動時,洛倫茲力等于向心力,即:
$eB{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ③
由②③解得電子比荷:
$\frac{e}{m}=\frac{3{v}_{0}}{Ba}$ ④
(2)由電子的軌道半徑可判斷,從O點(diǎn)射入磁場的電子(0,$\frac{2}{3}a$)的位置進(jìn)入勻強(qiáng)電場,電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動,有:
2r=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$ ⑤
x=v0t ⑥
聯(lián)立②④⑤⑥,將E=Bv0代入解得:
x=$\frac{2}{3}a$ ⑦
設(shè)該電子穿過x軸時速度與x軸正方向成θ角,則:
${v}_{y}=\frac{eE}{m}t$ ⑧
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ⑨
解得:tanθ=2 ⑩
設(shè)該電子打在熒光屏上的Q點(diǎn),Q點(diǎn)離x軸的距離為L,則:
L=(x0-x)tanθ=$\frac{4}{3}a$⑪
即電子打在熒光屏上離x軸的最遠(yuǎn)距離為:
L=$\frac{4}{3}a$
而從(0,-$\frac{4}{3}a$)位置進(jìn)入磁場的電子恰好由O點(diǎn)過y軸,不受電場力,沿x軸正方向做直線運(yùn)動,打在熒光屏與x軸相交的點(diǎn)上,所以熒光屏上在y坐標(biāo)分別為0、-$\frac{4}{3}a$的范圍內(nèi)出現(xiàn)一條長亮線;
答:(1)電子的比荷為$\frac{3{v}_{0}}{Ba}$;
(2)若在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限加上沿y軸正方向、大小為E=Bv0的勻強(qiáng)電場,在x0=$\frac{4}{3}$a處垂直于x軸放置一熒光屏,則熒光屏上在y坐標(biāo)分別為0、-$\frac{4}{3}a$的范圍內(nèi)出現(xiàn)一條長亮線.

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確電子的受力情況和運(yùn)動情況,畫出臨界軌跡,然后結(jié)合類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式、牛頓第二定律、幾何關(guān)系列式求解,不難.

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