Question

10．如圖所示，在xOy平面坐標(biāo)系中，直線MN與y軸成30°角，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，a），在y軸與直線MN之間的區(qū)域內(nèi)，存在垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．電子束以相同速度v₀從y軸上-$\frac{2}{3}$a≤y≤0的區(qū)間垂直于y軸和磁場射入磁場．已知從O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡恰好與直線MN相切，忽略電子間的相互作用和電子的重力．
（1）求電子的比荷；
（2）若在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限加上沿y軸正方向、大小為E=Bv₀的勻強(qiáng)電場，在x₀=$\frac{4}{3}$a處垂直于x軸放置一熒光屏，計(jì)算說明熒光屏上發(fā)光區(qū)的形狀和范圍．

Answer 1

分析 （1）先畫出O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解比荷；
（2）從（0，-$\frac{4}{3}a$）位置進(jìn)入磁場的電子恰好由O點(diǎn)過y軸，不受電場力，沿x軸正方向做直線運(yùn)動；從O點(diǎn)射入磁場的電子（0，$\frac{2}{3}a$）的位置進(jìn)入勻強(qiáng)電場，電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，離開電場后做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解．

解答 解：（1）從O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系有：

$r+\frac{r}{sin30°}=a$ ①
解得：
$r=\frac{a}{3}$ ②
電子在磁場中運(yùn)動時，洛倫茲力等于向心力，即：
$eB{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ③
由②③解得電子比荷：
$\frac{e}{m}=\frac{3{v}_{0}}{Ba}$ ④
（2）由電子的軌道半徑可判斷，從O點(diǎn)射入磁場的電子（0，$\frac{2}{3}a$）的位置進(jìn)入勻強(qiáng)電場，電子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，有：
2r=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$ ⑤
x=v₀t ⑥
聯(lián)立②④⑤⑥，將E=Bv₀代入解得：
x=$\frac{2}{3}a$ ⑦
設(shè)該電子穿過x軸時速度與x軸正方向成θ角，則：
${v}_{y}=\frac{eE}{m}t$ ⑧
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ⑨
解得：tanθ=2 ⑩
設(shè)該電子打在熒光屏上的Q點(diǎn)，Q點(diǎn)離x軸的距離為L，則：
L=（x₀-x）tanθ=$\frac{4}{3}a$⑪
即電子打在熒光屏上離x軸的最遠(yuǎn)距離為：
L=$\frac{4}{3}a$
而從（0，-$\frac{4}{3}a$）位置進(jìn)入磁場的電子恰好由O點(diǎn)過y軸，不受電場力，沿x軸正方向做直線運(yùn)動，打在熒光屏與x軸相交的點(diǎn)上，所以熒光屏上在y坐標(biāo)分別為0、-$\frac{4}{3}a$的范圍內(nèi)出現(xiàn)一條長亮線；
答：（1）電子的比荷為$\frac{3{v}_{0}}{Ba}$；
（2）若在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限加上沿y軸正方向、大小為E=Bv₀的勻強(qiáng)電場，在x₀=$\frac{4}{3}$a處垂直于x軸放置一熒光屏，則熒光屏上在y坐標(biāo)分別為0、-$\frac{4}{3}a$的范圍內(nèi)出現(xiàn)一條長亮線．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確電子的受力情況和運(yùn)動情況，畫出臨界軌跡，然后結(jié)合類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式、牛頓第二定律、幾何關(guān)系列式求解，不難．