Question

6．神舟五號載人飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮的圓形軌道．已知地球半徑R，地面處的重力加速度g，萬有引力常量為G．求：
（1）地球質(zhì)量的表達式．
（2）試用h、R、g表示飛船在上述圓軌道上運行的周期T的表達式．

Answer 1

分析 在地球表面，重力和萬有引力相等，神舟五號飛船軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力．

解答 解：（1）根據(jù)在地面重力和萬有引力相等，則有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）設地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，速度為v，地球的半徑為R，神舟五號飛船圓軌道的半徑為r，飛船軌道距地面的高度為h，
則據(jù)題意有：r=R+h
飛船在軌道上飛行時，萬有引力提供向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$；
答：（1）地球質(zhì)量的表達式是M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）用h、R、g表示飛船在上述圓軌道上運行的周期T的表達式是T=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．

點評 萬有引力的應用兩點注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關系．